8. MEDIDAS DE POSICION.

2 may

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27 comentarios hacia “8. MEDIDAS DE POSICION.”

  1. Christian Rios 2 mayo, 2011 a 8:11 AM #

    MEDIDAS DE POSICION
    1. Introducción
    Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible. Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de una variable, estudiaremos las distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de dispersión.
    Se trata de encontrar unas medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable Son medidas estadísticas cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama “Medidas de Tendencia Central “.
    2. Medidas de Posición
    Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama ” Medidas de Tendencia Central “.
    Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son:
    • Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tecer cuartil.
    • Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).
    • Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve percentil).
    Cuartiles (Q1, Q2, Q3)
    a. Aquel valor de una serie que supera al 25% de los datos y es superado por el 75% restante.
    Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde:
    : posición de Q1, la cual se localiza en la primera frecuencia acumulada que la contenga, siendo la clase de Q1, la correspondiente a tal frecuencia acumulada.
    Li, faa, fi, Ic : idéntico a los conceptos vistos para Mediana pero referidos a la medida de la posición correspondiente.
    b. Primer cuartil (Q1):
    c. Segundo cuartil (Q2):
    Coincide, es idéntico o similar al valor de la Mediana (Q2 = Md). Es decir, supera y es superado por el 50% de los valores de una Serie.
    c) Tercer cuartil (Q3):
    Aquel valor, termino o dato que supera al 75% y es superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.
    Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde:
    : posición de Q3, todo idéntico al calculo de la Mediana.
    Deciles (D1, D2, … D9)
    Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y Noveno Decil (D9).
    El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y es superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en porcentajes, supera al 10% y es superado por el 90% restante),

    El D9 (noveno decil) supera al 90% y es superado por el 10% restante.
    • Como se observa, son formulas parecidas a la del calculo de la Mediana, cambiando solamente la respectivas posiciones de las medidas.
    Percentiles (P1, P2, … P99)
    Primer Percentil (P1), Percentil 50 (P50) y Percentil 99 (P99).
    El primer percentil supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.
    Formulas de P1, P50, P99 para series de Datos Agrupados en Clase.

    El P99 (noventa y nueve percentil) supera al 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.
    • Idénticas formulas al calculo de la Mediana, cambiando obviamente las correspondientes posiciones de cada medida.
    Para determinar estas medidas se aplicara el principio de la mediana; así, el primer cuartil cereal valor por debajo del cual se encuentra el 25 por ciento de los datos; bajo el tecer cuartil se encuentra el 75 por ciento; el 80 decil será el valor por encima del cual estará el 20 por ciento de los datos, etc.
    Como se observa, todas estas medidas no son sino casos particulares del percentil ya que el primer cuartil no es sino el 25° percentil, el tercer cuartil el 75° percentil, el cuarto decil el 40° percentil, etc.
    Datos no agrupados:
    Se hace difícil calcular estas medidas, sin embargo, siguiendo los mismos principios mencionados para la Mediana, se pueden localizar en la forma siguiente:
    Si tenemos una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se localiza el primer cuartil como el valor cuando n es par, y cuando n es impar. Para el tercer cuartil será (n par); (n impar).
    En caso de los textiles será o donde A representa el número del textil.
    Para los deciles será o siendo A el número del decil; y para los percentiles o .
    Ejemplo:
    En una serie de 32 términos se desea localizar el 4° sextil, 8° decil y el 95° percentil.

    Esto significa que el 4° textil se encuentra localizado en el termino numero 21, es decir, el que ocupa la 21° posición; el 8° decil se encuentra localizado entre el termino numero 25° y 26° ; y el 95° percentil entre la posición 30° y 31° .
    Calculo para una distribución de frecuencia
    Para el calculo de esta medida en datos agrupados en una distribución de frecuencia, se utiliza el mismo procedimiento estudiado para el calculo de la Mediana, e; cual es:
    1. Se efectúa la columna de las frecuencias acumuladas.
    2. Se determina la posición del término cuyo valor se pretende calcular, en caso de ser el primer cuartil será , si fuese el 95° centil … etc.
    3. Se verifica cual es la clase que lo contiene; para ello se utiliza la columna de las frecuencias acumuladas.
    4. Se hace la diferencia entre el número que representa el orden de posición cuyo valor se pretende calcular y la frecuencia acumulada de la clase anterior a la que lo contiene.
    5. Se calcula la medida solicitada de acuerdo a la siguiente fórmula:

    Donde:
    1i: limite inferior de la clase que lo contiene.
    P: valor que representa la posición de la medida.
    fi: la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
    fa-1: frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
    Ic: intervalo de clase.
    Ejemplo:
    Determinación del primer cuartil, el cuartil textil, el séptimo decil y el 30° percentil.
    Salarios
    (I. de Clases) N° de empleados
    (fi) fa
    200 – 299 85 85
    300 – 399 90 175
    400 – 499 120 295
    500 – 599 70 365
    600 – 699 62 427
    700 – 800 36 463

    Estos resultados nos indican que el 25 por ciento de los empleados ganan salarios por debajo de Bs. 334; que sobre Bs. 519,51 ganan el 33,33 por ciento de los empleados; que bajo 541,57 gana el 57 por ciento de los empleados y sobre Bs. 359,88 gana el 70 por ciento de los empleados.
    Muchas veces necesitamos conocer el porcentaje de valores que esta por debajo o por encima de un valor dado; lo que representa un problema contrario al anterior, esto es, dado un cierto valor en la abscisa determinar en la ordenada el tanto por ciento de valores inferiores y superiores al valor dado. Operación que se resuelve utilizando la siguiente formula general:

    Donde:
    P: lugar percentil que se busca.
    P: valor reconocido en la escala X.
    fa-1: frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase en que esta incluida P.
    fi: frecuencia de la clase que contiene a p.
    Li: limite inferior de la clase que contiene a P.
    Ic: intervalo de clase.
    N: frecuencia total.
    Ejemplo:
    Utilizando la distribución anterior, determinar que porcentaje de personas ganan salarios inferiores a Bs. 450,00

    El 50,75 por ciento de las personas ganan salarios inferiores a Bs. 450.
    Método gráfico para fraccionar la distribución
    Se pueden obtener en forma gráfica, a través de la curva de la frecuencia acumulada (ojiva).
    Para ello basta después de trazar la ojiva, llevar el orden de posición de la medida que se quiere sobre la ordenada, trazar por ese punto una perpendicular toca a la ojiva, baja una paralela a la ordenada hasta tocar la abscisa; en el punto donde toque a dicho eje, se encontrará el valor buscado.
    Obtención gráfica de las medidas de posición
    Similar o idéntico a la distribución grafica de la Mediana con la sola excepción de que se llevaría al eje vertical (frecuencias acumuladas) las especificas posiciones de cada indicador de posición en particular.
    Ejemplo:
    Forma de obtener los indicadores de posición (cuartiles, deciles y percentiles) para series de datos agrupados en clases:
    Supongamos la siguiente distribución de frecuencias referidas a las estaturas que representaban 40 alumnos de un curso.
    (I. de Clases) Estaturas
    (mts) N° alumnos
    (fi) fa
    1,60 1,639 5 5
    1,64 1,679 8 13
    ** 1,68 1,719 15 ** 28
    * 1,72 1,759 10 38 *
    1,76 1,80 2 40

    Q3=?

    La cual se ubica en la primera fa que la contenga

    Esta estatura de Q3 = 1,73 mts. Supera en la distribución de frecuencia al 75% de los alumnos del curso y es superada por el 25% de los mismos.
    D8 = ?

    supera esta estatura de 1,736 mts a 8/10 partes de curso y es superado por las 2/10 partes restantes.
    P55 = ?

    Esta estatura supera al 55% de los alumnos del curso y es superada por el 45% restante.
    Calcular de cada uno de los intervalos de clases cuartiles, deciles y percentiles.
    Datos agrupados
    I. de clases fi fa
    10 – 15 10 10
    16 – 21 18 28
    22 – 27 10 38
    28 – 33 8 46
    34 – 39 9 55
    40 – 45 7 62
    46 – 51 3 65
    52 – 57 1 66
    n = 66
    Cuartiles:

    Deciles:

    Percentiles:

    3. Conclusión
    Las medidas de posición en un conjunto de datos están diseñadas para proporcionar al analista algunas medidas cuantitativas de donde está el centro de los datos en una muestra.
    En las medidas de posición se trata de encontrar medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posibles.

  2. jose cruz bañuelos hernandez 2 mayo, 2011 a 4:50 PM #

    INTRODUCCIÓN
    Las Medidas de Posición, también conocidas como Otras Medidas de Dispersión, son otras medidas o métodos que resultan ser más prácticos para precisar ciertas situaciones en las que se busca describir la variación o dispersión en un conjunto de datos

    CUANTILES

    Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un método que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales.

    Los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes.

    Los más usados son los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los centiles o percentiles, cuando dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana.

    Para algunos valores u , se dan nombres particulares a los cuantiles, Q (u):

    u Q(u)
    0.5 mediana
    0.25,0.75 cuartiles
    0.1…,0.99 deciles
    0.01…, 0.99 centiles

    CUARTILES
    Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.

    Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.

    Datos Agrupados

    Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:

    k= 1,2,3

    Donde:

    Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k

    n = Número de datos

    Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k.

    fk = Frecuencia de la clase del cuartil k

    c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k

    Si se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra fórmula se tiene lo siguiente:

    El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la variable que supera 25% de las observaciones y es superado por el 75% de las observaciones.
    Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:

    Donde:

    L1 = limite inferior de la clase que lo contiene

    P = valor que representa la posición de la medida

    f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.

    Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.

    Ic = intervalo de clase

    El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico o similar a la mediana, Q2 = Md), es el menor valor que es mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las observaciones son mayores que la mediana y el 50% son menores.
    Fórmula de Q2, para series de Datos agrupados:

    Donde:

    L1 = limite inferior de la clase que lo contiene

    P = valor que representa la posición de la medida

    f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.

    Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.

    Ic = intervalo de clase

    El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones.
    Fórmula de Q3, para series de Datos agrupados:

    Donde:

    L1 = limite inferior de la clase que lo contiene

    P = valor que representa la posición de la medida

    f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.

    Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.

    Ic = intervalo de clase.Otra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos particulares del percentil, ya que el primer cuartil es el 25% percentil y el tercer cuartil 75% percentil.

    Para Datos No Agrupados

    Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

    - El primer cuartil:

    Cuando n es par:

    Cuando n es impar:

    Para el tercer cuartil
    Cuando n es par:

    Cuando n es impar:

    DECILES
    Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes iguales, son también un caso particular de los percentiles. Los deciles se denotan D1, D2,…, D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc.

    Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente utilizados para fijar el aprovechamiento académico.

    Datos Agrupados

    Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula.

    k= 1,2,3,… 9

    Donde:

    Lk = Límite real inferior de la clase del decil k
    n = Número de datos
    Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.
    fk = Frecuencia de la clase del decil k
    c = Longitud del intervalo de la clase del decil k

    • Jose Alberto Martínez Acuña 2 mayo, 2011 a 7:17 PM #

      Especifica el contenido del enlace o liga que estas proporcionando, para que quien lo lea, sepa que puede obtener de el.

      • jose cruz bañuelos hernandez 7 mayo, 2011 a 8:48 PM #

        es bibliografia

  3. Karen Puente 3 mayo, 2011 a 3:47 AM #

    Medidas de posición
    Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

    Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

    La medidas de posición son:

    Cuartiles
    Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

    Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

    Q2 coincide con la mediana.

    Cálculo de los cuartiles
    1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

    2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .

    Número impar de datos
    2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

    Número par de datos
    2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

    Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de cuartiles
    Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Cálculo del primer cuartil

    Cálculo del segundo cuartil

    Cálculo del tercer cuartil

    Deciles
    Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

    Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.

    D5 coincide con la mediana.

    Cálculo de los deciles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de deciles
    Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Cálculo del primer decil

    Cálculo del segundo decil

    Cálculo del tercer decil

    Cálculo del cuarto decil

    Cálculo del quinto decil

    Cálculo del sexto decil

    Cálculo del séptimo decil

    Cálculo del octavo decil

    Cálculo del noveno decil

    Percentiles
    Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

    Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.

    P50 coincide con la mediana.

    Cálculo de los percentiles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de percentiles
    Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Percentil 35

    Percentil 60

  4. Diana Vazquez Salinas 3 mayo, 2011 a 1:56 AM #

    Medidas de posición
    Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

    Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

    La medidas de posición son:

    Cuartiles
    Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

    Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

    Q2 coincide con la mediana

    *Cálculo de los cuartiles
    1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

    2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .

    Número impar de datos
    2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

    Número par de datos
    2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

    Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.

    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de cuartiles
    Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65

    Cálculo del primer cuartil

    Cálculo del segundo cuartil

    *Deciles
    Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

    Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.

    D5 coincide con la mediana.

    Cálculo de los deciles

    en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..

    ai es la amplitud de la clase.

    *Percentiles
    Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.
    Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

    Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.

    P50 coincide con la mediana.

    Cálculo de los percentiles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra
    n la tabla de las frecuencias acumuladas.

  5. EVELYN MARTINEZ 4 mayo, 2011 a 8:33 AM #

    MEDIDAS DE POSICIÓN

    También llamadas de centralización o de tendencia central. Sirven para estudiar las características de los valores centrales de la distribución atendiendo a distintos criterios. Veamos su significado con un ejemplo:

    Supongamos que queremos describir de una forma breve y precisa los resultados obtenidos por un conjunto de alumnos en un cierto examen; diríamos:

    a) La nota media de la clase es de 6,5.
    b) La mitad de los alumnos han obtenido una nota inferior a 5.
    c) La nota que más veces se repite es el 4,5.

    En la expresión a) se utiliza como medida la media aritmética o simplemente la media.
    En la b) se emplea como medida la mediana, que es el valor promedio que deja por debajo de ella la mitad de las notas y por encima de ella la otra mitad. Y en la c) se usa el valor de la nota que más veces se ha repetido en ese examen, este valor es la moda.

    MEDIA ARITMÉTICA

    Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada.

    Media aritmética simple: Es la suma de todos los elementos de la serie dividida por el número de ellos. Se calcula como:

    siendo:
    : la media
    : suma de elementos
    n : número de elementos (incluyendo a los de igual valor)
    k : número de elementos con distinto valor.

    Ejemplos:
    1. Hallar la media aritmética de los siguientes valores: 5, 7, 8, 10, 15.

    = 5 + 7 + 8 + 10 + 15 = 45

    n = 5

    = 9

    2. Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de un curso durante una evaluación fueron: 7; 5; 6,5; 3,7; 5, 6,2. Hallar la nota media de la evaluación. (Resp. 5,5666…)
    3. La media de 6 elementos se sabe que es 10. Sabiendo que cinco de ellos son: 8, 12, 13, 5 y 9, hallar el elemento que falta. (Resp. 13)

    Media aritmética ponderada: Por lo general, en Estadística, los datos se nos presentan agrupados mediante una distribución de frecuencias que hace que no todos los elementos de la serie tengan el mismo peso específico, y eso influye a la hora de calcular la media, por eso se llama media ponderada.

    Se define como la suma de los productos de cada elemento de la serie por su frecuencia respectiva, dividida por el número de elementos de la serie.

    donde ni es la frecuencia o número de veces que se repite un valor. También ni puede ser la ponderación de cada valor xi.

    Ejemplos:

    1. Durante el mes de octubre de 1981 los salarios recibidos por un obrero fueron:

    Salario en pesos Frecuencia en días
    200.000 5
    220.000 15
    300.000 4

    Hallar el salario medio durante ese mes.

    2. Un alumno obtiene en tres exámenes parciales las siguientes notas: 7, 5 y 3; en el examen final consigue un 6. Suponiendo que esta nota final tenga doble valor que las parciales, ¿cuál será su nota media? (Resp. 5,4)
    3. Si la renta anual media de los trabajadores del campo es de 1.000.000 de pesos y la renta anual media de los trabajadores de la construcción en esa población es de 1.200.000 pesos, ¿sería la renta anual media para ambos grupos de 1.100.100 pesos? Explica.

    Sin embargo, lo normal es Estadística es que los datos vengan agrupados en clases o intervalos, o que nosotros mismos hagamos esa agrupación cuando el número de elementos sea muy extenso, ya que en ese caso el cálculo de la media por los procedimientos vistos para datos sin agrupar sería muy laborioso.

    Antes de estudiar los métodos más usuales para el cálculo de la media con datos agrupados, vamos a ver algunas propiedades de la media aritmética que nos ayudarán a comprender mejor el contenido de esos métodos.

    Propiedades de la media aritmética: Las propiedades más importantes son

    1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números respecto de su media aritmética es cero.
    2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números con respecto a cualquier otro número es mínima cuando ese otro número es precisamente la media aritmética.
    3. Si suponemos, antes de calcularla, que la media de un conjunto de números es cualquier número A, resulta que la verdadera media aritmética es:

    donde

    A: media supuesta
    : suma de las desviaciones respecto de A.
    n : número de elementos.

    4. Si A1 números tienen una media m1, A2 números una media m2, …., An números una media mn, entonces la media de todos ellos es:

    o sea, es la media aritmética ponderada de todas las medias.

    Ejemplo: En una cierta empresa de 80 empleados, 60 de ellos ganan 500.000 pesos al mes y los 20 restantes ganan 700.000 pesos al mes, cada uno de ellos. Se pide:
    a) Determinar el sueldo medio
    b) ¿Sería igual la respuesta si los primeros 60 empleados ganaran un sueldo medio de 500.000 pesos y los otros 20 un sueldo medio de 700.000 pesos?
    c) Comentar si ese sueldo medio es o no representativo.

    Cálculo de la media aritmética a partir de datos agrupados en clases.

    Hay dos métodos principalmente para calcular la media de una distribución con datos agrupados: método directo (o largo) y método abreviado (o corto).

    Método directo

    Consiste en aplicar la fórmula ya vista para el cálculo de la media ponderada, con la única salvedad de que se toman como valores representativos de la variable los puntos medios de cada intervalo, que se denotan con xm.
    O sea:

    Ejemplo: Hallemos la media aritmética por el método directo de la siguiente serie:

    25 33 27 20 14 21 33 29 25 17
    31 18 16 29 33 22 23 17 21 26
    13 20 27 37 26 19 25 24 25 20
    25 29 33 17 22 25 31 27 21 14
    24 27 23 15 21 24 18 25 23 24
    (Resp: 23,76)

    Método abreviado

    Consiste en elegir un intervalo en el que se supone que estará la media (aunque no sea así), y llamamos A al valor de la media supuesta, que coincidirá con el centro del intervalo elegido.
    Entonces aplicamos la fórmula

    Siendo d las desviaciones de las marcas de clase con respecto a la media supuesta A, y ni la frecuencia de cada intervalo.

    Ejemplo: Realizar el mismo anterior para poder comparar mejor los procedimientos.

    Este método abreviado es más rápido que el método directo, pues las operaciones que hay que realizar son más sencillas.

    Método clave

    Se diferencia fundamentalmente del método abreviado en que en lugar de calcular las desviaciones d de cada marca de clase a la media supuesta, simplemente se escriben al lado de cada marca unos números enteros “d”, que expresan el número de clases, más uno, que hay desde la marca considerada a la marca que coincide con la media supuesta. A estos números se les asigna signo menos si están por debajo de la media considerada y signo más si están por encima.
    La fórmula que se utiliza es la siguiente:

    donde I es un número igual a la amplitud o longitud de las clases o intervalos.
    Como ejemplo considerar el mismo de los dos casos anteriores.

    MEDIANA

    Una vez dispuestos todos los valores que toma la variable en una serie creciente o decreciente, el valor central de esa serie, si existe, es la mediana. Así pues, la mediana deja el mismo número de valores a su izquierda como a su derecha. Cuando no existe un valor central se puede definir como la media aritmética de los valores medios.
    Para su cálculo distinguiremos tres casos:
    a) Mediana de una serie con datos no agrupados.
    b) Mediana de una serie con datos agrupados por frecuencias y agrupados en intervalos.
    c) Mediana de una serie con datos agrupados sólo por frecuencias, pero sin agrupar en intervalos.

    Cálculo de la mediana con datos no agrupados

    Para calcular la mediana con datos no agrupados se ordenan los elementos en orden creciente o decreciente, y la mediana es el valor que ocupa el lugar
    Ejemplos: Determinar la mediana de la serie 5, 6, 9, 11, 15, 19, 23, 26, 27. Luego de la serie 5, 7, 10, 15, 20, 21, 24, 27.

    En los dos ejemplos anteriores ocurría que la frecuencia de cada elemento era 1. Pero no siempre sucede así.
    Sea ahora la serie: 3, 4, 4, 4, 6, 8 donde el elemento 4 tiene una frecuencia 3. Consideremos el intervalo que comprende cada elemento desde 0,5 unidades a loa izquierda hasta 0,5 unidades a la derecha. En nuestra serie, los tres elementos 4 se distribuyen entre 3,5 y 4,5. Los representamos en el eje real de la siguiente forma:

    Vemos que el valor 4,16 deja a su izquierda tres elementos (3, 4 y 4) y a su derecha otros 3 (4, 6 y 8), luego la mediana es 4,16.

    De la misma forma determina la mediana de 5, 6, 8, 8, 8, 8, 10, 12, 13. (Resp. 8,125)

    Cálculo de la mediana con datos agrupados

    Cuando los datos conviene agruparlos por intervalos, debido al elevado número de ellos, la mediana se calcula de la siguiente forma:

    1. Se calcula n/2.
    2. A la vista de las frecuencias acumuladas, se halla el intervalo que contiene a la mediana.
    3. Se calcula la frecuencia del intervalo que contiene a la mediana.
    4. Se halla uno cualquiera de los límites exactos (el superior o el inferior) del intervalo que contiene a la mediana. Sabiendo que límites exactos de un intervalo a – b, se refiere a los números a-0,5 y b+0,5.
    5. Se halla la frecuencia de los valores que quedan “por debajo” del intervalo que contiene a la mediana, o la frecuencia de los valores que quedan “por encima”, y según hayamos decido hacer, calculamos la mediana por alguna de estas dos fórmulas, respectivamente:

    siendo:

    M: Mediana
    l: Límite inferior del intervalo de la mediana.
    L: Límite superior del intervalo de la mediana
    I: Amplitud del intervalo de la mediana.
    fM: Frecuencia del intervalo de la mediana.
    fi: Frecuencia acumulada de los valores inferiores al intervalo de la mediana.
    fs: Frecuencia acumulada de los valores superiores al intervalo de la mediana.
    n: Número total de valores.

    Ejemplo 1:

    Clases Frecuencias Frecuencias Acumuladas
    118 – 126 3 3
    127 – 135 5 8
    136 – 144 9 17
    145 – 153 12 29
    154 – 162 5 34
    163 – 171 4 38
    172 – 180 2 40
    40

    Con los tres primeros intervalos o clases, abarcamos 17 elementos y con las cuatro primeras abarcamos 29, luego está claro que la mediana se encuentra en la cuarta clase, pues n/2 = 20. Entonces

    l = 144,5 (límite inferior de la clase mediana)
    I = 9 (amplitud de cada intervalo)
    fM = 12 (frecuencia de la clase mediana)
    fi = 17 (frecuencia acumulada en el intervalo inmediatamente anterior al de la mediana)
    n = 40 (número total de elementos de la serie)

    Luego

    Ejercicio: Determinar la mediana de la siguiente serie de valores, agrupando los datos por intervalos y por frecuencia con amplitud 4 y como primera clase la 10 – 14. Ten presente para este caso que los límites se hacen coincidir con los extremos. (Resp. M = 23)

    Cálculo de la mediana con datos agrupados sólo por frecuencias

    Se puede decir que es un caso particular del método anterior. El procedimiento es el siguiente: Una vez calculado el número alrededor del cual se encuentra la mediana, se considera este número como centro de un intervalo de amplitud 1; a continuación se aplica la fórmula anterior para el cálculo con datos agrupados en intervalos.

    Ejemplo:

    x f fa
    1 5 5
    2 7 12
    3 6 18
    4 12 30
    5 20 50
    6 15 65
    7 11 76
    8 6 82
    9 5 87
    10 2 89

    n = 89/2 = 44,5

    Por tanto, la mediana es un valor próximo a 5.

    MODA

    La moda de una serie de números es el valor que se presenta con mayor frecuencia; es decir, el que se repite un mayor número de veces. Es por tanto, el valor común.
    Por ejemplo, en la serie: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, la moda es 5.
    En una distribución puede ocurrir que haya dos o más modas, entonces se habla de distribución bimodal, trimodal, etc. Incluso puede no existir la moda, como en la serie 2, 3, 4, 5, 7, 10.

    Cálculo de la moda con datos agrupados

    En el caso de una distribución de frecuencias con datos agrupados, si hiciéramos una gráfica o curva de frecuencias, la moda sería el valor (o valores) de la variable correspondiente al máximo (o máximos) de la curva.
    La moda se puede calcular aplicando la siguiente fórmula:

    donde:

    l: límite inferior de la clase que contiene a la moda. (Clase Modal)
    1: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contigua inferior.
    2: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contigua superior.
    I: Amplitud del intervalo de la clase.

    Ejemplo: Determinemos la moda de la siguiente distribución de frecuencias:

    Clase Frecuencia
    10 – 20 11
    20 – 30 14
    30 – 40 21
    40 – 50 30
    50 – 60 18
    60 – 70 15
    70 – 80 7
    80 – 90 3
    119

    Ejercicio: Hallar las tres medidas de tendencia central, media, mediana y moda, de la siguiente tabla:

    Clases ni fa d f  d
    10 – 20 11
    20 – 30 14
    30 – 40 21
    40 – 50 30
    50 – 60 18
    60 – 70 15
    70 – 80 7
    80 – 90 3

    Resp: 44,91; 44,5; 44,28 respectivamente.

    Consideraciones finales

    En general, la media aritmética es la medida más utilizada ya que se puede calcular con exactitud y se basa en el total de las observaciones. Se emplea preferentemente en distribuciones simétricas y es el valor que presenta menores fluctuaciones al hacer variar la composición de la muestra. Finalmente, la media aritmética es especialmente útil cuando se precisa después calcular otros valores estadísticos, como desviaciones, coeficientes de correlación, etc.
    La mediana es preferida cuando la distribución de los datos es asimétrica, y cuando los valores extremos están tan alejados que distorsionarían el significado de la media. También se calcula la mediana en aquellas distribuciones en las que existen valores sin determinar, por ejemplo, aquellas cuya primera clase es del tipo “menos que x”, y la última clase: “más de y”. En definitiva, lo más importante de esta medida es que no se ve afectada por los valores extremos. Tiene, sin embargo, como inconveniente que se presta menos a operaciones algebraicas que la media aritmética.
    La moda es una medida que no suele interesar especialmente, a no ser que haya tal concentración de datos en la distribución que un valor destaque claramente sobre todos los demás. Puede servir también para cuando queramos estimar de una forma rápida, y no muy precisa, una medida de tendencia central. La moda, al igual que la mediana, es un valor que no se ve afectado por los valores extremos de la distribución y también es poco susceptible de efectuar con él operaciones algebraicas.

    Fuente: Estadística; Fernando García y Fernando Garzo, Editorial McGraw-Hill; Mad

  6. santos garcia 4 mayo, 2011 a 11:27 AM #

    Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

    Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

    La medidas de posición son:

    CUARTILES.

    os cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

    Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

    Q2 coincide con la mediana.

    CALCULO DE LOS CUARTILES

    1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

    2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión

    Número impar de datos
    2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

    Número par de datos
    2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

    álculo de los cuartiles para datos agrupados
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de cuartiles
    Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Cálculo del primer cuartil

    Cálculo del segundo cuartil

    Cálculo del tercer cuartil

    Deciles
    Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

    Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.

    D5 coincide con la mediana.

    Cálculo de los deciles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de deciles
    Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Cálculo del primer decil

    Cálculo del segundo decil

    Cálculo del tercer decil

    Cálculo del cuarto decil

    Cálculo del quinto decil

    Cálculo del sexto decil

    Cálculo del séptimo decil

    Cálculo del octavo decil

    Cálculo del noveno decil

    Percentiles
    Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

    Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.

    P50 coincide con la mediana.

    Cálculo de los percentiles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de percentiles
    Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Percentil 35

    Percentil 60

  7. Edith Madai Castillo Silva 4 mayo, 2011 a 9:39 PM #

    Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
    Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
    La medidas de posición son:

    Cuartiles
    Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.
    Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
    Q2 coincide con la mediana.

    Cálculo de los cuartiles
    1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
    2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión

    Número impar de datos
    2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

    Número par de datos
    2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

    Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.


    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Deciles
    Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
    Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.
    D5 coincide con la mediana.

    Cálculo de los deciles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Percentiles
    Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
    Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.
    P50 coincide con la mediana.
    Cálculo de los percentiles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.


    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Bibliografia
    http://www.ditutor.com/estadistica/medidas_posicion.html

  8. pedro treviño 4 mayo, 2011 a 11:43 PM #

    Medidas de posición
    Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

    Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

    La medidas de posición son:

    Cuartiles
    Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

    Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

    Q2 coincide con la mediana.

    Cálculo de los cuartiles
    1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

    2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .

    Número impar de datos
    2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

    Número par de datos
    2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

    Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de cuartiles
    Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Cálculo del primer cuartil

    Cálculo del segundo cuartil

    Cálculo del tercer cuartil

    Deciles
    Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

    Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.

    D5 coincide con la mediana.

    Cálculo de los deciles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de deciles
    Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Cálculo del primer decil

    Cálculo del segundo decil

    Cálculo del tercer decil

    Cálculo del cuarto decil

    Cálculo del quinto decil

    Cálculo del sexto decil

    Cálculo del séptimo decil

    Cálculo del octavo decil

    Cálculo del noveno decil

    Percentiles
    Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

    Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.

    P50 coincide con la mediana.

    Cálculo de los percentiles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

    N es la suma de las frecuencias absolutas.

    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de percentiles
    Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Percentil 35

    Percentil 60

  9. martha hernandez 5 mayo, 2011 a 9:00 PM #

    Medidas de Posición

    Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama ” Medidas de Tendencia Central “.

    Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son:

    Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tecer cuartil.
    Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).
    Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve percentil).
    Cuartiles (Q1, Q2, Q3)

    Aquel valor de una serie que supera al 25% de los datos y es superado por el 75% restante.
    Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde

    posición de Q1, la cual se localiza en la primera frecuencia acumulada que la contenga, siendo la clase de Q1, la correspondiente a tal frecuencia acumulada.

    Li, faa, fi, Ic : idéntico a los conceptos vistos para Mediana pero referidos a la medida de la posición correspondiente.

    Primer cuartil (Q1):
    Segundo cuartil (Q2):
    Coincide, es idéntico o similar al valor de la Mediana (Q2 = Md). Es decir, supera y es superado por el 50% de los valores de una Serie.

    c) Tercer cuartil (Q3):

    Aquel valor, termino o dato que supera al 75% y es superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.
    Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en Clase.

    donde

    posición de Q3, todo idéntico al calculo de la Mediana.

    Deciles (D1, D2, … D9)
    Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y Noveno Decil (D9).
    El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y es superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en porcentajes, supera al 10% y es superado por el 90% restante),



    El P99 (noventa y nueve percentil) supera al 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.

    Idénticas formulas al calculo de la Mediana, cambiando obviamente las correspondientes posiciones de cada medida.
    Para determinar estas medidas se aplicara el principio de la mediana; así, el primer cuartil cereal valor por debajo del cual se encuentra el 25 por ciento de los datos; bajo el tecer cuartil se encuentra el 75 por ciento; el 80 decil será el valor por encima del cual estará el 20 por ciento de los datos, etc.
    Como se observa, todas estas medidas no son sino casos particulares del percentil ya que el primer cuartil no es sino el 25° percentil, el tercer cuartil el 75° percentil, el cuarto decil el 40° percentil, et}
    http://www.monografias.com/trabajos14/medidasposicion/medidasposicion.shtml

  10. martha hernandez 5 mayo, 2011 a 9:05 PM #

    Tanto las medidas de tendencia central como de dispersión en ocasiones son insuficientes sobre todo cuando en ocasiones deseamos presentar el análisis con respecto a la posición que ocupa la información que para nosotros resulta relevante, así por ejemplo, podemos hablar de dividir la información a la mitad, realizado por la mediana, en cuatro parte, en cinco, en diez o quizá en otro tipo de divisiones.

    A continuación se presentan algunas medidas conocidas como de posición.

    Cuartiles para datos agrupados en clases.

    Si la información la dividimos en cuatro partes iguales entonces a estas divisiones les llamaremos cuartiles o cuartillas, aunque es más común el primer nombre. Dividiendo la información tenemos:

    Lo cuartiles son representados como . El primer cuartil considera el 25% de la información a su izquierda y el 75% a la derecha; para el segundo cuartil considera el 50% de la información tanto a la derecha como a la izquierda, este coincide con la mediana; el tercer cuartil considera el 75% de la información a la izquierda y el 75% a la derecha. El cuarto cuartil, que no fue indicado en el gráfico considera a toda la información. Por lo anterior podemos afirmar que los cuartiles son tres valores que dividen a la serie de datos en cuatro partes iguales, como se puede apreciar el gráfico.

    El cálculo para los cuartiles se determina a través de la siguiente expresión:

  11. Alejandra Trujillo 5 mayo, 2011 a 9:09 PM #

    video:

    Medidas de posición
    Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
    Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
    Las medidas de posición son:

    Cuartiles
    Los cuartiles son medidas estadísticas de posición que tienen la propiedad de dividir la serie estadística en cuatro grupos de números iguales de términos.
    De manera similar los deciles dividen a la serie en diez partes iguales y los percentiles dividen a los términos de la serie en cien grupos iguales.
    Así como la mediana divide la serie o distribución en dos partes iguales, existen tres cuartiles, nueve deciles y noventa y nueve percentiles que dividen en cuatro, diez y cien partes iguales a la distribución.
    De estas tres últimas medidas de posición los cuartiles son las de mayor aplicación.
    Se emplean generalmente en la determinación de estratos o grupos correspondientes a fenómenos socio-económicos, monetarios o teóricos.
    Los tres cuartiles suelen designarse con los símbolos:

    Q1 = primer cuartil

    Q2 = segundo cuartil

    Q3 = tercer cuartil

    Los deciles por D1, D2, D3,……, D9 y los percentiles con P1, P2, P3,….., P99.
    En cualquiera de los tres casos, la medida de posición seleccionada toma el valor de uno de los términos o del punto medio entre dos términos.
    Para el cálculo de estas tres medidas de posición es necesario arreglar los términos en forma creciente o decreciente. Así, en el caso de un ordenamiento simple, el siguiente paso es determinar el “número de orden” de los cuartiles, deciles o porcentiles, el cual indicará el lugar que ocupen en la distribución.
    En lo que se refiere a los cuartiles, el número de orden del primer cuartil es igual al número de términos de la distribución más uno, sobre cuatro. Para el segundo cuartil el número de orden se calculará sumando uno al total de términos y dividiendolo entre dos.
    Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.
    Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
    Q2 coincide con la mediana.

    PRÁCTICA

    Nombre______________________________________________Grupo ______
    PROBLEMA 1.- La variación de los valores incluídos en una serie de datos es
    la llamada dispersión. Los tipos más comunes de dispersión son:
    ________________________________________________________________
    ________________________________________________________________
    La medida de dispersión que se utiliza para mostrar la variación de los valores
    entre el 50% de los elementos centrales se denomina:
    _________________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    y las que se usan para medir la variación de los valores alrededor de un
    promedio se denominan:
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    ________________________ y ____________________________________
    LA ESTADÍSTICA APLICADA AL ANÁLISIS ECONÓMICO
    64 PROFESOR: GENARO SÁNCHEZ BARAJAS
    _________________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    Al describir una distribución estadística, comúnmente se emplea una
    medida de tendencia central para
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    _________ y una medida de dispersión para ______
    ____________________________________________________

    http://www.economia.unam.mx/profesor/barajas/estadis/parte2.pdf

    Cálculo de los cuartiles
    1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

    2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresion:

    Número impar de datos
    2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

    Número par de datos
    2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

    Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra

    , en la tabla de las frecuencias acumuladas.


    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de cuartiles.
    Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:


    DECILES

    Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
    Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.
    D5 coincide con la mediana.

    Cálculo de los deciles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra http://www.ditutor.com/estadistica/images/53.gif en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    Ai: es la amplitud de la clase.

    Percentiles

    Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
    Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.
    P50 coincide con la mediana.

    Cálculo de los percentiles

    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Video donde explica todo lo básico de la estadística… mas las medidas de posición central y no central.

  12. Montserar Alonso 5 mayo, 2011 a 10:28 PM #

    MEDIDAS DE POSICION
    Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible. Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de una variable, estudiaremos las distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de dispersión.
    Se trata de encontrar unas medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable Son medidas estadísticas cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama “Medidas de Tendencia Central “.
    Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama ” Medidas de Tendencia Central “.
    Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son:
    • Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tecer cuartil.
    • Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).
    • Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve percentil).
    Cuartiles (Q1, Q2, Q3)
    a. Aquel valor de una serie que supera al 25% de los datos y es superado por el 75% restante.
    Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde:
    : posición de Q1, la cual se localiza en la primera frecuencia acumulada que la contenga, siendo la clase de Q1, la correspondiente a tal frecuencia acumulada.
    Li, faa, fi, Ic : idéntico a los conceptos vistos para Mediana pero referidos a la medida de la posición correspondiente.
    b. Primer cuartil (Q1):
    c. Segundo cuartil (Q2):
    Coincide, es idéntico o similar al valor de la Mediana (Q2 = Md). Es decir, supera y es superado por el 50% de los valores de una Serie.
    c) Tercer cuartil (Q3):
    Aquel valor, termino o dato que supera al 75% y es superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.
    Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde:
    : posición de Q3, todo idéntico al calculo de la Mediana.
    Deciles (D1, D2, … D9)
    Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y Noveno Decil (D9).
    El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y es superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en porcentajes, supera al 10% y es superado por el 90% restante),

    El D9 (noveno decil) supera al 90% y es superado por el 10% restante.
    • Como se observa, son formulas parecidas a la del calculo de la Mediana, cambiando solamente la respectivas posiciones de las medidas.
    Percentiles (P1, P2, … P99)
    Primer Percentil (P1), Percentil 50 (P50) y Percentil 99 (P99).
    El primer percentil supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.
    Formulas de P1, P50, P99 para series de Datos Agrupados en Clase.

    El P99 (noventa y nueve percentil) supera al 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.
    • Idénticas formulas al calculo de la Mediana, cambiando obviamente las correspondientes posiciones de cada medida.
    Para determinar estas medidas se aplicara el principio de la mediana; así, el primer cuartil cereal valor por debajo del cual se encuentra el 25 por ciento de los datos; bajo el tecer cuartil se encuentra el 75 por ciento; el 80 decil será el valor por encima del cual estará el 20 por ciento de los datos, etc.
    Como se observa, todas estas medidas no son sino casos particulares del percentil ya que el primer cuartil no es sino el 25° percentil, el tercer cuartil el 75° percentil, el cuarto decil el 40° percentil, etc.
    Datos no agrupados:
    Se hace difícil calcular estas medidas, sin embargo, siguiendo los mismos principios mencionados para la Mediana, se pueden localizar en la forma siguiente:
    Si tenemos una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se localiza el primer cuartil como el valor cuando n es par, y cuando n es impar. Para el tercer cuartil será (n par); (n impar).
    En caso de los textiles será o donde A representa el número del textil.
    Para los deciles será o siendo A el número del decil; y para los percentiles o .
    Ejemplo:
    En una serie de 32 términos se desea localizar el 4° sextil, 8° decil y el 95° percentil.

    Esto significa que el 4° textil se encuentra localizado en el termino numero 21, es decir, el que ocupa la 21° posición; el 8° decil se encuentra localizado entre el termino numero 25° y 26° ; y el 95° percentil entre la posición 30° y 31° .
    Calculo para una distribución de frecuencia
    Para el calculo de esta medida en datos agrupados en una distribución de frecuencia, se utiliza el mismo procedimiento estudiado para el calculo de la Mediana, e; cual es:
    1. Se efectúa la columna de las frecuencias acumuladas.
    2. Se determina la posición del término cuyo valor se pretende calcular, en caso de ser el primer cuartil será , si fuese el 95° centil … etc.
    3. Se verifica cual es la clase que lo contiene; para ello se utiliza la columna de las frecuencias acumuladas.
    4. Se hace la diferencia entre el número que representa el orden de posición cuyo valor se pretende calcular y la frecuencia acumulada de la clase anterior a la que lo contiene.
    5. Se calcula la medida solicitada de acuerdo a la siguiente fórmula:

    Donde:
    1i: limite inferior de la clase que lo contiene.
    P: valor que representa la posición de la medida.
    fi: la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
    fa-1: frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
    Ic: intervalo de clase.
    Ejemplo:
    Determinación del primer cuartil, el cuartil textil, el séptimo decil y el 30° percentil.
    Salarios
    (I. de Clases) N° de empleados
    (fi) fa
    200 – 299 85 85
    300 – 399 90 175
    400 – 499 120 295
    500 – 599 70 365
    600 – 699 62 427
    700 – 800 36 463

    Estos resultados nos indican que el 25 por ciento de los empleados ganan salarios por debajo de Bs. 334; que sobre Bs. 519,51 ganan el 33,33 por ciento de los empleados; que bajo 541,57 gana el 57 por ciento de los empleados y sobre Bs. 359,88 gana el 70 por ciento de los empleados.
    Muchas veces necesitamos conocer el porcentaje de valores que esta por debajo o por encima de un valor dado; lo que representa un problema contrario al anterior, esto es, dado un cierto valor en la abscisa determinar en la ordenada el tanto por ciento de valores inferiores y superiores al valor dado. Operación que se resuelve utilizando la siguiente formula general:

    Donde:
    P: lugar percentil que se busca.
    P: valor reconocido en la escala X.
    fa-1: frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase en que esta incluida P.
    fi: frecuencia de la clase que contiene a p.
    Li: limite inferior de la clase que contiene a P.
    Ic: intervalo de clase.
    N: frecuencia total.
    Ejemplo:
    Utilizando la distribución anterior, determinar que porcentaje de personas ganan salarios inferiores a Bs. 450,00

    El 50,75 por ciento de las personas ganan salarios inferiores a Bs. 450.
    Método gráfico para fraccionar la distribución
    Se pueden obtener en forma gráfica, a través de la curva de la frecuencia acumulada (ojiva).
    Para ello basta después de trazar la ojiva, llevar el orden de posición de la medida que se quiere sobre la ordenada, trazar por ese punto una perpendicular toca a la ojiva, baja una paralela a la ordenada hasta tocar la abscisa; en el punto donde toque a dicho eje, se encontrará el valor buscado.
    Obtención gráfica de las medidas de posición
    Similar o idéntico a la distribución grafica de la Mediana con la sola excepción de que se llevaría al eje vertical (frecuencias acumuladas) las especificas posiciones de cada indicador de posición en particular.
    Ejemplo:
    Forma de obtener los indicadores de posición (cuartiles, deciles y percentiles) para series de datos agrupados en clases:
    Supongamos la siguiente distribución de frecuencias referidas a las estaturas que representaban 40 alumnos de un curso.
    (I. de Clases) Estaturas
    (mts) N° alumnos
    (fi) Fa
    1,60 1,639 5 5
    1,64 1,679 8 13
    ** 1,68 1,719 15 ** 28
    * 1,72 1,759 10 38 *
    1,76 1,80 2 40

    Q3=?

    La cual se ubica en la primera fa que la contenga

    Esta estatura de Q3 = 1,73 mts. Supera en la distribución de frecuencia al 75% de los alumnos del curso y es superada por el 25% de los mismos.
    D8 = ?

    supera esta estatura de 1,736 mts a 8/10 partes de curso y es superado por las 2/10 partes restantes.
    P55 = ?

    Esta estatura supera al 55% de los alumnos del curso y es superada por el 45% restante.
    Calcular de cada uno de los intervalos de clases cuartiles, deciles y percentiles.
    Datos agrupados
    I. de clases fi fa
    10 – 15 10 10
    16 – 21 18 28
    22 – 27 10 38
    28 – 33 8 46
    34 – 39 9 55
    40 – 45 7 62
    46 – 51 3 65
    52 – 57 1 66
    n = 66
    Cuarteles:

    Deciles:

    Percentiles:

    3. Conclusión
    Las medidas de posición en un conjunto de datos están diseñadas para proporcionar al analista algunas medidas cuantitativas de donde está el centro de los datos en una muestra.
    En las medidas de posición se trata de encontrar medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posibles.

    http://www.monografias.com/trabajos14/medidasposicion/medidasposicion.shtml

    VIDEOS

  13. jaime alejandre 5 mayo, 2011 a 10:36 PM #

    MEDIDAS DE POSICION
    Las Medidas de Posición, también conocidas como Otras Medidas de Dispersión, son otras medidas o métodos que resultan ser más prácticos para precisar ciertas situaciones en las que se busca describir la variación o dispersión en un conjunto de datos.
    Cuartiles
    Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.
    Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
    Q2 coincide con la mediana.

    Cálculo de los cuartiles
    1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
    2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .
    Número impar de datos
    2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

    Número par de datos
    2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

    Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de cuartiles
    Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:
    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Cálculo del primer cuartil

    Cálculo del segundo cuartil

    Cálculo del tercer cuartil

    Deciles
    Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
    Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.
    D5 coincide con la mediana.

    Cálculo de los deciles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de deciles
    Calcular los deciles de la distribución de la tabla:
    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Cálculo del primer decil

    Cálculo del segundo decil

    Cálculo del tercer decil

    Cálculo del cuarto decil

    Cálculo del quinto decil

    Cálculo del sexto decil

    Cálculo del séptimo decil

    Cálculo del octavo decil

    Cálculo del noveno decil

    Percentiles
    Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
    Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.
    P50 coincide con la mediana.
    Cálculo de los percentiles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de percentiles
    Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Percentil 35

    Percentil 60

  14. Jose Guadalupe Castillo Mendez 5 mayo, 2011 a 11:26 PM #

    Medidas De Posicion
    Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible. Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de una variable, estudiaremos las distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de dispersión.
    Se trata de encontrar unas medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable Son medidas estadísticas cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama “Medidas de Tendencia Central “.

    Medidas de Posición
    Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama ” Medidas de Tendencia Central “.
    Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son:
    • Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tecer cuartil.
    • Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).
    • Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve percentil).
    Cuartiles (Q1, Q2, Q3)
    a. Aquel valor de una serie que supera al 25% de los datos y es superado por el 75% restante.
    Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde:
    : posición de Q1, la cual se localiza en la primera frecuencia acumulada que la contenga, siendo la clase de Q1, la correspondiente a tal frecuencia acumulada.
    Li, faa, fi, Ic : idéntico a los conceptos vistos para Mediana pero referidos a la medida de la posición correspondiente.
    b. Primer cuartil (Q1):
    c. Segundo cuartil (Q2):
    Coincide, es idéntico o similar al valor de la Mediana (Q2 = Md). Es decir, supera y es superado por el 50% de los valores de una Serie.
    c) Tercer cuartil (Q3):
    Aquel valor, termino o dato que supera al 75% y es superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.
    Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde:
    : posición de Q3, todo idéntico al calculo de la Mediana.
    Deciles (D1, D2, … D9)
    Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y Noveno Decil (D9).
    El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y es superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en porcentajes, supera al 10% y es superado por el 90% restante),

    El D9 (noveno decil) supera al 90% y es superado por el 10% restante.
    • Como se observa, son formulas parecidas a la del calculo de la Mediana, cambiando solamente la respectivas posiciones de las medidas.
    Percentiles (P1, P2, … P99)
    Primer Percentil (P1), Percentil 50 (P50) y Percentil 99 (P99).
    El primer percentil supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.
    Formulas de P1, P50, P99 para series de Datos Agrupados en Clase.

    El P99 (noventa y nueve percentil) supera al 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.
    • Idénticas formulas al calculo de la Mediana, cambiando obviamente las correspondientes posiciones de cada medida.
    Para determinar estas medidas se aplicara el principio de la mediana; así, el primer cuartil cereal valor por debajo del cual se encuentra el 25 por ciento de los datos; bajo el tecer cuartil se encuentra el 75 por ciento; el 80 decil será el valor por encima del cual estará el 20 por ciento de los datos, etc.
    Como se observa, todas estas medidas no son sino casos particulares del percentil ya que el primer cuartil no es sino el 25° percentil, el tercer cuartil el 75° percentil, el cuarto decil el 40° percentil, etc.
    Datos no agrupados:
    Se hace difícil calcular estas medidas, sin embargo, siguiendo los mismos principios mencionados para la Mediana, se pueden localizar en la forma siguiente:
    Si tenemos una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se localiza el primer cuartil como el valor cuando n es par, y cuando n es impar. Para el tercer cuartil será (n par); (n impar).
    En caso de los textiles será o donde A representa el número del textil.
    Para los deciles será o siendo A el número del decil; y para los percentiles o .
    Ejemplo:
    En una serie de 32 términos se desea localizar el 4° sextil, 8° decil y el 95° percentil.

    Esto significa que el 4° textil se encuentra localizado en el termino numero 21, es decir, el que ocupa la 21° posición; el 8° decil se encuentra localizado entre el termino numero 25° y 26° ; y el 95° percentil entre la posición 30° y 31° .
    Calculo para una distribución de frecuencia
    Para el calculo de esta medida en datos agrupados en una distribución de frecuencia, se utiliza el mismo procedimiento estudiado para el calculo de la Mediana, e; cual es:
    1. Se efectúa la columna de las frecuencias acumuladas.
    2. Se determina la posición del término cuyo valor se pretende calcular, en caso de ser el primer cuartil será , si fuese el 95° centil … etc.
    3. Se verifica cual es la clase que lo contiene; para ello se utiliza la columna de las frecuencias acumuladas.
    4. Se hace la diferencia entre el número que representa el orden de posición cuyo valor se pretende calcular y la frecuencia acumulada de la clase anterior a la que lo contiene.

    Conclusión
    Las medidas de posición en un conjunto de datos están diseñadas para proporcionar al analista algunas medidas cuantitativas de donde está el centro de los datos en una muestra.
    En las medidas de posición se trata de encontrar medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posibles.

  15. Karen Arcelia Serralde Martinez 6 mayo, 2011 a 5:54 PM #

    Cartiles:

    Cuartiles. Son los puntos que dividen a una distribución de valores en cuatro porciones iguales o intervalos. Se representan por , , y se ilustran en el esquema siguiente:
    Q1=25%, Q2=50% Q3=75% Q4=100% =1,2,3,4
    Ordenamos los datos de menor a mayor.
    2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .

    Lo cuartiles son representados como . El primer cuartil considera el 25% de la información a su izquierda y el 75% a la derecha; para el segundo cuartil considera el 50% de la información tanto a la derecha como a la izquierda, este coincide con la mediana; el tercer cuartil considera el 75% de la información a la izquierda y el 75% a la derecha. El cuarto cuartil, que no fue indicado en el gráfico considera a toda la información. Por lo anterior podemos afirmar que los cuartiles son tres valores que dividen a la serie de datos en cuatro partes iguales, como se puede apreciar el gráfico.

    El cálculo para los cuartiles se determina a través de la siguiente expresión:

    donde :
    k
    Orden del cuartil

    Li=Límite inferior del intervalo que contiene al cuartil
    Fa=Frecuencia acumulada considerada al intervalo donde se encuentra
    Frecuencia del intervalo que contiene el cuartil
    n=Número de mediciones
    i=Amplitud del intervalo

    DECILES:
    Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
    Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.
    D5 coincide con la mediana.
    Cálculo de los deciles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Cálculo del primer decil
    Cálculo del segundo decil
    Cálculo del tercer decil
    Cálculo del cuarto decil
    Cálculo del quinto decil
    Cálculo del sexto decil
    Cálculo del séptimo decil
    Cálculo del octavo decil
    Cálculo del noveno decil

    Quintiles:
    Artículo principal:
    Se representan con la letra K.
    Es el primer quintil. Separa a la muestra dejando el 20% de los datos a su izquierda.
    Es el segundo quintil. Es el valor que indica que el 40% de los datos son menores.
    Es el tercer quintil. Indica que el 60% de los datos son menores que él.
    Es el cuarto quintil. Separa al 80% de los datos del otro 20%.

    Percentiles O Centiles:
    Se representan con la letra C.
    Es el percentil i-ésimo, donde la i toma valores del 1 al 99. El i % de la muestra son valores menores que él y el 100-i % restante son mayores.
    Cuando los datos no están agrupados en intervalos, los cuartiles, así como el resto de las medidas de posición, tienen un valor claro. Sin embargo, cuando tenemos una agrupación de los datos ya no es tan sencillo realizar el cálculo. Sí que resulta claro ver en cuál de los intervalos está el cuartil (quintil, decil o percentil) buscado, pero para calcular su valor exacto necesitaremos usar una fórmula.

    Bibliografia
    http://edelmirachocooj-edelmira.blogspot.com/2009/03/medidas-de-posicion.html

  16. Samantha Baez 6 mayo, 2011 a 9:14 PM #

    Medidas de Posición: Cuantiles

    Los cuantiles son valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos, que comprenden el mismo número de valores. Los más usados son los cuartiles, los deciles y los percentiles.

    u PERCENTILES: son 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Ejemplo, el percentil de orden 15 deja por debajo al 15% de las observaciones, y por encima queda el 85%

    u CUARTILES: son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales, son un caso particular de los percentiles:

    - El primer cuartil Q 1 es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de los datos
    - El segundo cuartil Q 2 (la mediana), es el menor valor que es mayor que la mitad de los datos
    - El tercer cuartil Q 3 es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos

    u DECILES: son los nueve valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes iguales, son también un caso particular de los percentiles.

    Ejemplo:

    Dada la siguiente distribución en el número de hijos (Xi) de cien familias, calcular sus cuartiles.

    xi ni Ni
    0 14 14
    1 10 24
    2 15 39
    3 26 65
    4 20 85
    5 15 100
    n=100

    Solución:

    1.
    Primer cuartil:

    2.
    Segundo cuartil:

    3.
    Tercer cuartil:

    Bibliografia:
    http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm

  17. cenit almaguer 6 mayo, 2011 a 10:03 PM #

    Las Medidas de Posición, también conocidas como Otras Medidas de Dispersión, son otras medidas o métodos que resultan ser más prácticos para precisar ciertas situaciones en las que se busca describir la variación o dispersión en un conjunto de datos.

    1.INTRODUCCIÓN
    2.CUANTILES
    Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un método que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales.

    Los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes.

    Los más usados son los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los centiles o percentiles, cuando dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana.

    Para algunos valores u , se dan nombres particulares a los cuantiles, Q (u):

    u
    Q(u)

    0.5
    Mediana

    0.25, 0.75
    Cuartiles

    0.1, … , 0.99
    Deciles

    0.01, …, 0.99
    Centiles

    CUARTILES

    Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.

    Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.

    Datos Agrupados

    Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:

    k= 1,2,3

    Donde:

    Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k

    n = Número de datos

    Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k.

    fk = Frecuencia de la clase del cuartil k

    c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k

    http://www.monografias.com/trabajos27/datos-agrupados/datos-agrupados.shtml

  18. Daniel Avelino Miranda 7 mayo, 2011 a 12:29 AM #

    BIBLIOGRAFIA
    http://www.ditutor.com/estadistica/medidas_posicion.html

    Medidas de posición
    Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
    Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
    La medidas de posición son:

    Cuartiles
    Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.
    Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
    Q2 coincide con la mediana.

    Cálculo de los cuartiles
    1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
    2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expression

    Número impar de datos

    2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

    Número par de datos
    2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

    Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra
    en la tabla de las frecuencias acumuladas

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de cuartiles
    Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:
    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Cálculo del primer cuartil

    Cálculo del segundo cuartil


    Cálculo del tercer cuartil

    Deciles
    Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
    Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.
    D5 coincide con la mediana.

    Cálculo de los deciles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra
    http://www.ditutor.com/estadistica/images/53.gif en la tabla de las frecuencias acumuladas.


    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de deciles
    Calcular los deciles de la distribución de la tabla:
    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Cálculo del primer deciL


    Cálculo del segundo decil

    Cálculo del tercer decil


    Cálculo del cuarto decil

    Cálculo del quinto decil


    Cálculo del sexto decil



    Cálculo del séptimo decil


    Cálculo del octavo decil


    Cálculo del noveno decil

    http://www.ditutor.com/estadistica/images/93.gif
    Percentiles
    Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
    Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.
    P50 coincide con la mediana.
    Cálculo de los percentiles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra
    http://www.ditutor.com/estadistica/images/54.gifen la tabla de las frecuencias acumuladas.
    http://www.ditutor.com/estadistica/images/51.gif
    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de percentiles
    Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65

    Percentil 35


    Percentil 60


  19. Marielena Smith Gómez 7 mayo, 2011 a 12:34 AM #

    Medidas de Dispercion:

    Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible. Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de una variable, estudiaremos las distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de dispersión.
    Se trata de encontrar unas medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable Son medidas estadísticas cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama “Medidas de Tendencia Central “.

    Medidas de Posición

    Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama ” Medidas de Tendencia Central “.

    Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son:

    Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tecer cuartil.
    Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).
    Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve percentil).
    Cuartiles (Q1, Q2, Q3)

    Li, faa, fi, Ic : idéntico a los conceptos vistos para Mediana pero referidos a la medida de la posición correspondiente.

    a)Primer cuartil (Q1):
    b)Segundo cuartil (Q2):
    Coincide, es idéntico o similar al valor de la Mediana (Q2 = Md). Es decir, supera y es superado por el 50% de los valores de una Serie.
    c) Tercer cuartil (Q3):

    Aquel valor, termino o dato que supera al 75% y es superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.
    Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Deciles (D1, D2, … D9)
    Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y Noveno Decil (D9).
    El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y es superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en porcentajes, supera al 10% y es superado por el 90% restante),


    El D9 (noveno decil) supera al 90% y es superado por el 10% restante.

    Como se observa, son formulas parecidas a la del calculo de la Mediana, cambiando solamente la respectivas posiciones de las medidas.
    Percentiles (P1, P2, … P99)
    Primer Percentil (P1), Percentil 50 (P50) y Percentil 99 (P99).
    El primer percentil supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.
    Formulas de P1, P50, P99 para series de Datos Agrupados en Clase.




    El P99 (noventa y nueve percentil) supera al 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.

    Idénticas formulas al calculo de la Mediana, cambiando obviamente las correspondientes posiciones de cada medida.
    Para determinar estas medidas se aplicara el principio de la mediana; así, el primer cuartil cereal valor por debajo del cual se encuentra el 25 por ciento de los datos; bajo el tecer cuartil se encuentra el 75 por ciento; el 80 decil será el valor por encima del cual estará el 20 por ciento de los datos, etc.
    Como se observa, todas estas medidas no son sino casos particulares del percentil ya que el primer cuartil no es sino el 25° percentil, el tercer cuartil el 75° percentil, el cuarto decil el 40° percentil, etc.

    Bibliografia
    http://www.ditutor.com/estadistica/medidas_posicion.html
    http://www.monografias.com/trabajos14/medidasposicion/medidasposicion.shtml

  20. fernanda espinosa 7 mayo, 2011 a 2:29 PM #

    Medidas de posición
    Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
    Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
    La medidas de posición son:

    Cuartiles
    Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.
    Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
    Q2 coincide con la mediana.

    Cálculo de los cuartiles
    1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
    2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .
    Número impar de datos
    2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

    Número par de datos
    2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

    Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de cuartiles
    Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:
    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65

    Cálculo del primer cuartil

    Cálculo del segundo cuartil

    Cálculo del tercer cuartil

    Deciles
    Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
    Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%… y al 90% de los datos.
    D5 coincide con la mediana.

    Cálculo de los deciles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de deciles
    Calcular los deciles de la distribución de la tabla:
    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65

    Cálculo del primer decil

    Cálculo del segundo decil

    Cálculo del tercer decil

    Cálculo del cuarto decil

    Cálculo del quinto decil

    Cálculo del sexto decil

    Cálculo del séptimo decil

    Cálculo del octavo decil

    Cálculo del noveno decil

    Percentiles
    Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
    Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.
    P50 coincide con la mediana.
    Cálculo de los percentiles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de percentiles
    Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65

    Percentil 35

    Percentil 60

    Bibliiografia
    http://www.ditutor.com/estadistica/medidas_posicion.html

  21. undeadwolf 7 mayo, 2011 a 10:34 PM #

    1. Introducción

    Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando.  La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible. Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de una variable, estudiaremos las distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de dispersión.
    Se trata de encontrar unas medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable Son medidas estadísticas cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama “Medidas de Tendencia Central “.
    2. Medidas de Posición

    Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama ” Medidas de Tendencia Central “.
    Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son:
    Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tecer cuartil.
    Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).
    Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve percentil).
    Cuartiles (Q1, Q2, Q3)
    Aquel valor de una serie que supera al 25% de los datos y es superado por el 75% restante.
    Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde:
    : posición de Q1, la cual se localiza en la primera frecuencia acumulada que la contenga, siendo la clase de Q1, la correspondiente a tal frecuencia acumulada.
    Li, faa, fi, Ic : idéntico a los conceptos vistos para Mediana pero referidos a la medida de la posición correspondiente.
    Primer cuartil (Q1):
    Segundo cuartil (Q2):
    Coincide, es idéntico o similar al valor de la Mediana (Q2 = Md). Es decir, supera y es superado por el 50% de los valores de una Serie.
    c) Tercer cuartil (Q3):
    Aquel valor, termino o dato que supera al 75% y es superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.
    Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde:
    : posición de Q3, todo idéntico al calculo de la Mediana.
    Deciles (D1, D2, … D9)
    Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y Noveno Decil (D9).
    El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y es superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en porcentajes, supera al 10% y es superado por el 90% restante),

    El D9 (noveno decil) supera al 90% y es superado por el 10% restante.
    Como se observa, son formulas parecidas a la del calculo de la Mediana, cambiando solamente la respectivas posiciones de las medidas.
    Percentiles (P1, P2, … P99)
    Primer Percentil (P1), Percentil 50 (P50) y Percentil 99 (P99).
    El primer percentil supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.
    Formulas de P1, P50, P99 para series de Datos Agrupados en Clase.

    El P99 (noventa y nueve percentil) supera al 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.
    Idénticas formulas al calculo de la Mediana, cambiando obviamente las correspondientes posiciones de cada medida.
    Para determinar estas medidas se aplicara el principio de la mediana; así, el primer cuartil cereal valor por debajo del cual se encuentra el 25 por ciento de los datos; bajo el tecer cuartil se encuentra el 75 por ciento; el 80 decil será el valor por encima del cual estará el 20 por ciento de los datos, etc.
    Como se observa, todas estas medidas no son sino casos particulares del percentil ya que el primer cuartil no es sino el 25° percentil, el tercer cuartil el 75° percentil, el cuarto decil el 40° percentil, etc.
    Datos no agrupados:
    Se hace difícil calcular estas medidas, sin embargo, siguiendo los mismos principios mencionados para la Mediana, se pueden localizar en la forma siguiente:
    Si tenemos una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se localiza el primer cuartil como el valor cuando n es par, y cuando n es impar. Para el tercer cuartil será (n par); (n impar).
    En caso de los textiles será o donde A representa el número del textil.
    Para los deciles será o siendo A el número del decil; y para los percentiles o .
    Ejemplo:
    En una serie de 32 términos se desea localizar el 4° sextil, 8° decil y el 95° percentil.

    Esto significa que el 4° textil se encuentra localizado en el termino numero 21, es decir, el que ocupa la 21° posición; el 8° decil se encuentra localizado entre el termino numero 25° y 26° ; y el 95° percentil entre la posición 30° y 31° .
    Calculo para una distribución de frecuencia
    Para el calculo de esta medida en datos agrupados en una distribución de frecuencia, se utiliza el mismo procedimiento estudiado para el calculo de la Mediana, e; cual es:
    Se efectúa la columna de las frecuencias acumuladas.
    Se determina la posición del término cuyo valor se pretende calcular, en caso de ser el primer cuartil será , si fuese el 95° centil … etc.
    Se verifica cual es la clase que lo contiene; para ello se utiliza la columna de las frecuencias acumuladas.
    Se hace la diferencia entre el número que representa el orden de posición cuyo valor se pretende calcular y la frecuencia acumulada de la clase anterior a la que lo contiene.
    Se calcula la medida solicitada de acuerdo a la siguiente fórmula:

    Donde:
    1i: limite inferior de la clase que lo contiene.
    P: valor que representa la posición de la medida.
    fi: la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
    fa-1: frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
    Ic: intervalo de clase.
    Ejemplo:
    Determinación del primer cuartil, el cuartil textil, el séptimo decil y el 30° percentil.
    Salarios

    (I. de Clases)

    N° de empleados

    (fi)

    fa

    200 – 299

    85

    85

    300 – 399

    90

    175

    400 – 499

    120

    295

    500 – 599

    70

    365

    600 – 699

    62

    427

    700 – 800

    36

    463

    Estos resultados nos indican que el 25 por ciento de los empleados ganan salarios por debajo de Bs. 334; que sobre Bs. 519,51 ganan el 33,33 por ciento de los empleados; que bajo 541,57 gana el 57 por ciento de los empleados y sobre Bs. 359,88 gana el 70 por ciento de los empleados.
    Muchas veces necesitamos conocer el porcentaje de valores que esta por debajo o por encima de un valor dado; lo que representa un problema contrario al anterior, esto es, dado un cierto valor en la abscisa determinar en la ordenada el tanto por ciento de valores inferiores y superiores al valor dado. Operación que se resuelve utilizando la siguiente formula general:

    Donde:
    P: lugar percentil que se busca.
    P: valor reconocido en la escala X.
    fa-1: frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase en que esta incluida P.
    fi: frecuencia de la clase que contiene a p.
    Li: limite inferior de la clase que contiene a P.
    Ic: intervalo de clase.
    N: frecuencia total.
    Ejemplo:
    Utilizando la distribución anterior, determinar que porcentaje de personas ganan salarios inferiores a Bs. 450,00

    El 50,75 por ciento de las personas ganan salarios inferiores a Bs. 450.
    Método gráfico para fraccionar la distribución
    Se pueden obtener en forma gráfica, a través de la curva de la frecuencia acumulada (ojiva).
    Para ello basta después de trazar la ojiva, llevar el orden de posición de la medida que se quiere sobre la ordenada, trazar por ese punto una perpendicular toca a la ojiva, baja una paralela a la ordenada hasta tocar la abscisa; en el punto donde toque a dicho eje, se encontrará el valor buscado.
    Obtención gráfica de las medidas de posición
    Similar o idéntico a la distribución grafica de la Mediana con la sola excepción de que se llevaría al eje vertical (frecuencias acumuladas) las especificas posiciones de cada indicador de posición en particular.

    http://www.monografias.com/trabajos14/medidasposicion/medidasposicion.shtml

  22. vanessa cano lopez 8 mayo, 2011 a 8:09 AM #

    MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
    La distribución de frecuencias agrupadas, el histograma y el polígono de frecuencia
    son los métodos que nos permiten la comprensión de los datos. Como sin duda usted habrá
    experimentado, la construcción requerida toma mucho tiempo y es a menudo tediosa. Por lo tanto,
    resulta a menudo beneficioso derivar un número que trate de representar la distribución completa.
    Estos números se conocen como medidas de tendencia central. En otras palabras, representa el
    resultado final alrededor del cual suelen centrarse los otros resultados.
    Las tres medidas de tendencia central que vamos a examinar son la media aritmética
    o promedio, la mediana y el modo. Probablemente usted ya conoce estas medidas, aunque no
    haya conocidos sus nombres estadísticos. Por ejemplo, los educadores hablan a menudo del
    término medio de lecturas de la clase, y de los resultados término medio de una prueba particular,
    entre otros. El “termino medio” se refiere a la media aritmética o promedio. Cuando los
    economistas hablan que la mitad de la población está ganando sobre o bajo un nivel de entradas
    particular, se están refiriendo a la mediana. Finalmente, cuando los expertos en demografía
    mantienen que la mayoría de la población tienen entre 20 y 35 años de edad, se refieren al valor
    de mayor frecuencia o modo.
    Todas estas medidas tienen puntos fuertes y débiles que deben entenderse antes de
    que se escoja entre ellas.
    LA MEDIA ARITMÉTICA
    Cuando nos referimos a niños de 3 años con un peso medio de 15 Kgs. estamos
    hablando del promedio. Esto no implica que todos los niños de 3 años pesen 15 Kgs.; A medida
    que trabajemos en los cálculos del promedio, esto se hará aparente.
    Considere el siguiente grupo de números:
    13, 20, 15, 19, 08, 12, 11, 09, 19, 14
    Nuestra tarea consiste en encontrar el numero que represente al grupo.
    MEDIANA
    Hay muchas pruebas disponibles que tratan de medir la habilidad matemática. Usted
    probablemente tomó al menos una durante sus años escolares. Los resultados de estas pruebas
    son generalmente reportados en dos formas: resultados directos y percentiles. El resultado directo
    es el resultado obtenido en la prueba (por ejemplo: generalmente el número de respuestas
    “correctas” ). Por ejemplo, en una prueba determinada, cinco personas obtuvieron los siguientes
    resultados directos:
    80, 75, 90, 55, 70
    Como estamos buscando una medida de tendencia central, trataremos de buscar un
    resultado que represente este grupo con más exactitud. En este caso, podemos usar la mediana.
    Para lograr conseguir la mediana es necesario comprender los percentiles. Un percentil es punto
    bajo del cual se encuentra P por ciento del resultado. Por lo tanto, el percentil 20avo es el punto
    bajo del cual se encuentra 20% del resultado y el percentil 95avo es el punto bajo del cual se
    encuentra el 95% del resultado.
    La razón por la cual usamos percentiles para describir una distribución es que si se
    encuentra un resultado directo de 90, ¿cuál seria su reacción? ¿Es un resultado alto, es un
    resultado bajo? y, en todo caso, como se compara con otros que tomaron esa prueba específica?
    Si el resultado de 90 se obtiene en una prueba en la cual el resultado máximo es de 100,
    concluiremos que 90 es un resultado alto. Sin embargo, si el resultado máximo es de 1.000,
    entonces tendríamos que concluir que 90 es un resultado bajo. Pero aún esta información podría
    no ser correcta. Por ejemplo, si en una clase de 30 estudiantes un estudiante alcanza 90 en una
    prueba en que el resultado máximo es de 100, y los otros 29 estudiantes alcanzaron 95 y mas,
    entonces, en relación con todos los estudiantes de la clase, el que obtuvo 90 no fue tan exitoso.
    Alternativamente, si un estudiante en una clase de 30 estudiantes logra 35 contra un resultado
    máximo de 100, y los otros 29 estudiantes logran menos de 25, entonces el estudiante que obtuvo
    35 logró mejor resultado en relación al resto de la clase.
    Asignar percentiles es entonces, un método usado para “ uniformar ” los resultados.
    Si usted ha seguido la explicación no se le presentará ninguna dificultad en comprender la
    mediana. La mediana es el resultado que representará el percentil 50avo. En otras palabras, es el
    resultado que divide la distribución de todos los resultados por la mitad.
    EL MODO
    El modo o el valor de mayor frecuencia es quizás la medida más sencilla de comprender y
    calcular de las medidas de tendencia central. Desafortunadamente es menos usada.
    El modo o el valor de mayor frecuencia es el valor que más se repite en una distribución de
    resultados. Estudie los siguientes grupos de resultados.
    36, 35, 34, 34, 34, 28, 27, 27, 19, 15, 14
    El resultado más frecuente en esta distribución es 34. Aparece 3 veces, mientras que 27
    aparece dos veces y todos los demás una sola vez. Por lo tanto, el valor de mayor frecuencia es
    34. Note también que el 27 aparece dos veces. Esto da lugar a lo que valor de mayor frecuencia
    menor. En este ejemplo, entonces, 34 es el valor de mayor frecuencia mayor, y 27 es el valor de
    mayor frecuencia menor. También es posible que exista una distribución bimodal; esto sucede
    cuando dos resultados aparecen con igual frecuencia, como en la siguiente tabla:
    97, 91, 90, 90, 87, 85, 81, 81, 74
    En esta distribución hay dos valores de mayor frecuencia: 90 y 81. Es decir, la distribución es
    bimodal. El valor de mayor frecuencia representa la mayor concentración de resultados en una
    distribución, pero nos dice muy poco sobre la relación entre todos los resultados.
    B. COMPARACIÓN ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y EL MODO
    Cuando se presentan datos sin organizar, a menudo usted tendrá que decidir que medida de
    tendencia central es la más apropiada. Además, para poder interpretar correctamente los datos
    que utilicen una medida de tendencia central, y determinar si ésta es mejor medida disponible, es
    necesario que se comprenda a fondo las consecuencias de seleccionar una medida en vez de otra.
    La siguiente anécdota anuncia las difilcutades que se presentan a seleccionar la medida
    apropiada:
    Cinco hombres estaban una vez sentados en un banco de la Plaza. Dos eran vagos, y el total
    de las posesiones materiales de cada uno eran 25 bolívares. El tercero era un obrero cuya
    cuenta de banco y otras posesiones personales materiales sumaban 2.000 bolívares. El cuarto
    hombre tenia 15.000 bolívares en distintos valores. El quinto hombre era un hombre rico con
    un valor neto de 5.000.000 de bolívares. Por lo tanto, el valor de mayor frecuencia del grupo
    era 25 bolívares. Esta cifra describe las personas financieras de dos de las personas del grupo,
    pero es totalmente inadecuada para los otros tres. La cifra media es dos mil bolívares hace
    muy poca justicia a ninguno de los otros, excepto al obrero. El promedio, 1.003.400,10
    bolívares no es nada satisfactorio, aun para el hombre rico. Si tuviéramos que elegir una
    medida de tenencia central, tal vez tendría que ser valor de mayor frecuencia central, tal vez
    tendría que ser valor de mayor frecuencia, que describe el 40 por ciento del grupo
    correctamente. Pero si nos dijesen que “el valor de mayor frecuencia de la posesiones de cinco
    personas sentadas en un banco de la plaza es 25 bolívares“ podrimos muy fácilmente concluir
    que el valor total de la posesiones del grupo es aproximadamente 125 bolívares, lo cual sería
    cerca de 5.000.000 millones de bolívares menos que la cifra correcta. Es obvio, que ninguna
    medida de tendencia central podrá ser adecuada para estos “desiguales compañeros del
    banco“ que simplemente carecen de una “tendencia central“
    Usamos medida de tendencia central cuando se nos presenta un grupo grande de resultados a
    resumir estadísticamente. En la anécdota, como tenemos solamente 5, “resultados“ sería irrisorio
    tratar de resumirlo. Sin embrago, cuando seleccionamos una medida, deben tenerse presente la
    siguientes observaciones:
    1. El modo es una medida poco elaborada y puede resultar inestable. Si tenemos los
    siguientes resultados:
    90, 89, 89, 77, 76, 75
    el valor de mayor frecuencia es 89. Sin embargo, si uno de los 89 fuera cambiado por
    medio por 75, el valor de mayor frecuencia sería entonces 75
    2. La media es influenciada por el tamaño de los resultados en el grupo.
    El promedio de 1, 2, 3, 4, 5 es igual a 3.
    Sin embargo, si el número 5 se cambiaría a 30, el promedio sería 8.
    3. La Mediana no está influenciada por el tamaño de los resultados. En el ejemplo anterior,
    la mediana de 1, 2, 3, 4, 5 es igual a 3. Si el 5 se cambiaria a 30 la mediana continúa
    siendo 3.
    4. Algunos grupos de resultados tendrán la media, la mediana y el modo iguales. Como
    vemos, en el siguiente resultado: 1, 2, 3, 4, 5
    LA MEDIA = 3
    LA MEDIANA = 3
    EL MODO = 3
    5. Algunos grupos de resultados ni tendrá tendencia central, y cualquier medida que se elija
    no reflejará la distribución correctamente. Para el siguiente grupo de resultados:
    1, 2, 3, 4, 5, 98, 99, 100, 100, 101, 102
    La medidas de tendencia central son inadecuadas: la media es 51,3 y no hay ningún
    resultado de 51,3 y ninguno que se le aproxime; la mediana es 51,5 aunque el resultado que le
    sigue es 98, y el que le aparece es 5; la distribución es bimodal a los extremos 1 y 100, y no en el
    centro.
    Cuando se tenga que hacer una selección es sumamente recomendable hacer el cálculo
    de las tres medidas de tendencia central y comparar cada una de la medidas con la distribución
    completa de los resultados. Esto le dará un cuadro más completo de la distribución. Se debe
    recordar que el propósito de una medida de tendencia central es la representación de la
    distribución completa en la forma más correcta posible. Por lógica, entonces, siempre que sea
    posible usar resultados directos, no vacile. Es mucho mejor ver los resultados observados que una
    sustitución de los mismos.
    bibliografia:
    http://api.ning.com/files/jCnIqpq9Vi68Es-5cauLo8lvIYVQZoVdDMy3yuoyihLHn7h9OXy4acmJppDz-qbTHG0FMON3gQbqfZFa9qm25BalUj0ofn3G/unidad3.pdf

  23. Javier Aparicio 8 mayo, 2011 a 11:08 PM #

    1. Introducción

    Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible. Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de una variable, estudiaremos las distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de dispersión.
    Se trata de encontrar unas medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable Son medidas estadísticas cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama “Medidas de Tendencia Central “.

    2. Medidas de Posición

    Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama ” Medidas de Tendencia Central “.

    Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son:

    Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tecer cuartil.
    Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).
    Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve percentil).
    Cuartiles (Q1, Q2, Q3)

    Aquel valor de una serie que supera al 25% de los datos y es superado por el 75% restante.
    Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde:

    : posición de Q1, la cual se localiza en la primera frecuencia acumulada que la contenga, siendo la clase de Q1, la correspondiente a tal frecuencia acumulada.

    Li, faa, fi, Ic : idéntico a los conceptos vistos para Mediana pero referidos a la medida de la posición correspondiente.

    Primer cuartil (Q1):
    Segundo cuartil (Q2):
    Coincide, es idéntico o similar al valor de la Mediana (Q2 = Md). Es decir, supera y es superado por el 50% de los valores de una Serie.

    c) Tercer cuartil (Q3):

    Aquel valor, termino o dato que supera al 75% y es superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.
    Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en Clase.

    Donde:

    : posición de Q3, todo idéntico al calculo de la Mediana.

    Deciles (D1, D2, … D9)
    Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y Noveno Decil (D9).
    El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y es superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en porcentajes, supera al 10% y es superado por el 90% restante),

    El D9 (noveno decil) supera al 90% y es superado por el 10% restante.

    Como se observa, son formulas parecidas a la del calculo de la Mediana, cambiando solamente la respectivas posiciones de las medidas.
    Percentiles (P1, P2, … P99)
    Primer Percentil (P1), Percentil 50 (P50) y Percentil 99 (P99).
    El primer percentil supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.
    Formulas de P1, P50, P99 para series de Datos Agrupados en Clase.

    El P99 (noventa y nueve percentil) supera al 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.

    Idénticas formulas al calculo de la Mediana, cambiando obviamente las correspondientes posiciones de cada medida.
    Para determinar estas medidas se aplicara el principio de la mediana; así, el primer cuartil cereal valor por debajo del cual se encuentra el 25 por ciento de los datos; bajo el tecer cuartil se encuentra el 75 por ciento; el 80 decil será el valor por encima del cual estará el 20 por ciento de los datos, etc.
    Como se observa, todas estas medidas no son sino casos particulares del percentil ya que el primer cuartil no es sino el 25° percentil, el tercer cuartil el 75° percentil, el cuarto decil el 40° percentil, etc.

    Datos no agrupados:
    Se hace difícil calcular estas medidas, sin embargo, siguiendo los mismos principios mencionados para la Mediana, se pueden localizar en la forma siguiente:

    Si tenemos una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se localiza el primer cuartil como el valor cuando n es par, y cuando n es impar. Para el tercer cuartil será (n par); (n impar).

    En caso de los textiles será o donde A representa el número del textil.

    Para los deciles será o siendo A el número del decil; y para los percentiles o .

    Ejemplo:
    En una serie de 32 términos se desea localizar el 4° sextil, 8° decil y el 95° percentil.

    Esto significa que el 4° textil se encuentra localizado en el termino numero 21, es decir, el que ocupa la 21° posición; el 8° decil se encuentra localizado entre el termino numero 25° y 26° ; y el 95° percentil entre la posición 30° y 31° .

    Calculo para una distribución de frecuencia

    Para el calculo de esta medida en datos agrupados en una distribución de frecuencia, se utiliza el mismo procedimiento estudiado para el calculo de la Mediana, e; cual es:

    Se efectúa la columna de las frecuencias acumuladas.
    Se determina la posición del término cuyo valor se pretende calcular, en caso de ser el primer cuartil será , si fuese el 95° centil … etc.
    Se verifica cual es la clase que lo contiene; para ello se utiliza la columna de las frecuencias acumuladas.
    Se hace la diferencia entre el número que representa el orden de posición cuyo valor se pretende calcular y la frecuencia acumulada de la clase anterior a la que lo contiene.
    Se calcula la medida solicitada de acuerdo a la siguiente fórmula:

    Donde:
    1i: limite inferior de la clase que lo contiene.
    P: valor que representa la posición de la medida.
    fi: la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
    fa-1: frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
    Ic: intervalo de clase.
    Ejemplo:
    Determinación del primer cuartil, el cuartil textil, el séptimo decil y el 30° percentil.

    Salarios

    (I. de Clases)

    N° de empleados

    (fi)

    fa

    200 – 299

    85

    85

    300 – 399

    90

    175

    400 – 499

    120

    295

    500 – 599

    70

    365

    600 – 699

    62

    427

    700 – 800

    36

    463

    Estos resultados nos indican que el 25 por ciento de los empleados ganan salarios por debajo de Bs. 334; que sobre Bs. 519,51 ganan el 33,33 por ciento de los empleados; que bajo 541,57 gana el 57 por ciento de los empleados y sobre Bs. 359,88 gana el 70 por ciento de los empleados.
    Muchas veces necesitamos conocer el porcentaje de valores que esta por debajo o por encima de un valor dado; lo que representa un problema contrario al anterior, esto es, dado un cierto valor en la abscisa determinar en la ordenada el tanto por ciento de valores inferiores y superiores al valor dado. Operación que se resuelve utilizando la siguiente formula general:

    Donde:
    P: lugar percentil que se busca.
    P: valor reconocido en la escala X.
    fa-1: frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase en que esta incluida P.
    fi: frecuencia de la clase que contiene a p.
    Li: limite inferior de la clase que contiene a P.
    Ic: intervalo de clase.
    N: frecuencia total.

    Ejemplo:
    Utilizando la distribución anterior, determinar que porcentaje de personas ganan salarios inferiores a Bs. 450,00

    El 50,75 por ciento de las personas ganan salarios inferiores a Bs. 450.

    Método gráfico para fraccionar la distribución
    Se pueden obtener en forma gráfica, a través de la curva de la frecuencia acumulada (ojiva).
    Para ello basta después de trazar la ojiva, llevar el orden de posición de la medida que se quiere sobre la ordenada, trazar por ese punto una perpendicular toca a la ojiva, baja una paralela a la ordenada hasta tocar la abscisa; en el punto donde toque a dicho eje, se encontrará el valor buscado.

    Obtención gráfica de las medidas de posición
    Similar o idéntico a la distribución grafica de la Mediana con la sola excepción de que se llevaría al eje vertical (frecuencias acumuladas) las especificas posiciones de cada indicador de posición en particular.

    Ejemplo:
    Forma de obtener los indicadores de posición (cuartiles, deciles y percentiles) para series de datos agrupados en clases:
    Supongamos la siguiente distribución de frecuencias referidas a las estaturas que representaban 40 alumnos de un curso.

    (I. de Clases)

    Estaturas

    (mts)

    N° alumnos

    (fi)

    fa

    1,60

    1,639

    5

    5

    1,64

    1,679

    8

    13

    ** 1,68

    1,719

    15

    ** 28

    * 1,72

    1,759

    10

    38 *

    1,76

    1,80

    2

    40

    Q3=?

    La cual se ubica en la primera fa que la contenga

    Esta estatura de Q3 = 1,73 mts. Supera en la distribución de frecuencia al 75% de los alumnos del curso y es superada por el 25% de los mismos.

    D8 = ?

    supera esta estatura de 1,736 mts a 8/10 partes de curso y es superado por las 2/10 partes restantes.

    P55 = ?

    Esta estatura supera al 55% de los alumnos del curso y es superada por el 45% restante.

    Calcular de cada uno de los intervalos de clases cuartiles, deciles y percentiles.

    Datos agrupados

    I. de clases

    fi

    fa

    10 – 15

    10

    10

    16 – 21

    18

    28

    22 – 27

    10

    38

    28 – 33

    8

    46

    34 – 39

    9

    55

    40 – 45

    7

    62

    46 – 51

    3

    65

    52 – 57

    1

    66

    n = 66

    Bibliografia:
    http://www.monografias.com/trabajos14/medidasposicion/medidasposicion.shtml
    http://www.ditutor.com/estadistica/medidas_posicion.html

  24. Evelyn Martine, Jacob Banda, Alejandro espino 26 mayo, 2011 a 8:48 PM #

    INDICE:
    Medidas de Posición………………………………………………………………………………………………..1
    2.Percentiles…………………………………………………………………………………………………………….2
    3.Cuartiles…………………………………………………………………………………………………………………3
    Desiles……………………………………………………………………………………………………………………….4
    Moda…………………………………………………………………………………………………………………………5
    Mediana…………………………………………………………………………………………………………………….6
    Media Aritmética………………………………………………………………………………………………………7
    Varianza…………………………………………………………………………………………………………………….3

    INTRODUCCION
    as medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible. Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de una variable, estudiaremos las distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de dispersión.
    Se trata de encontrar unas medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable Son medidas estadísticas cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama “Medidas de Tendencia Central “.

    Medidas de posición
    Además de conocer los valores de tendencia central para una distribución,
    puede resultar interesante localizar la posición de determinadas
    puntuaciones individuales en relación con el grupo. De esto se encargan las
    medidas de posición; informan de la posición de determinadas­ 15 ­
    puntuaciones individuales en relación con el grupo del que forman parte.
    La mediana, además de indicar una tendencia central, puede ser
    considerada una medida de posición, puesto que a través de ella podemos
    saber que el individuo que logra una puntuación similar a ella se encuentra
    justo en el centro de la distribución, dejando el mismo número de
    puntuaciones por encima y por debajo. Este tipo de información es la que
    nos aportan los cuantiles.
    Si deseamos expresar la puntuación de un sujeto en relación con el grupo al
    que pertenece, la forma más sencilla de hacerlo sería ordenar todas las
    puntuaciones y señalar el lugar que ocupa. Pero no es suficiente decir el
    lugar que ocupa un determinado sujeto, es preciso conocer también el
    número de sujetos que integran el grupo.
    Para indicar de forma clara el lugar que ocupa un sujeto en un grupo
    podemos ordenar de mayor a menor todos los componentes del grupo,
    Según las puntuaciones obtenidas. Llamaremos cuantiles a los puntos o
    Valores de corte en la distribución que dejan por debajo de sí un porcentaje
    Determinado de casos o individuos, y por encima otro porcentaje,
    Complementario al anterior. Para poder calcular los cuantiles, la escala ha
    de ser al menos ordinal, y será preciso ordenar previamente los datos o
    Agruparlos de mayor a menor. Dependiendo del número de partes en que se divide la serie de puntuaciones, podremos hablar de percentiles, cuartiles o deciles.
    PERCENTILES
    • ¿Qué son los percentiles?
    Los percentiles son los 99 valores que dividen en 100 partes iguales a
    una serie de puntuaciones ordenadas, de forma que el percentil Pm deja
    por debajo de sí el m por ciento de las puntuaciones del grupo. A cada­ 16 ­
    una de estas cien partes en las que se dividen las puntuaciones también
    las podemos llamar centil (Cm).
    • ¿Cómo los calculamos?
    Si los datos aparecen agrupados por intervalos, bastará ordenarlos y
    determinar cuántas puntuaciones representan el m por ciento de la
    distribución. Una vez determinada esta cantidad, localizaremos en la
    serie ordenada cuál es la puntuación que deja por debajo de sí a ese
    número de puntuaciones.
    En el caso en que los datos aparecen agrupados por intervalos,
    emplearemos la siguiente expresión, que nos permitirá calcular un
    percentil cualquiera:
    L1: es el límite inferior del intervalo crítico (intervalo donde estará
    contenido el percentil).
    I: es la amplitud de los intervalos.
    fa: es la frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo crítico.
    n: es el número de casos.
    fi: es la frecuencia absoluta del intervalo crítico.
    La expresión m ∙ n/100 representa el número de puntuaciones que
    quedarían por debajo del percentil m en la distribución estudiada. El
    intervalo crítico es precisamente aquel donde la frecuencia acumulada
    alcanza o supera ese número de puntuaciones. Ejemplo:
    Una prueba de rendimiento en Estadística ha sido calificada con una
    escala de 0 a 50. Si las puntuaciones obtenidas por los 204 alumnos de
    2º de Pedagogía de una facultad española son los que aparecen en la­ 17 ­
    tabla 4, ¿cuál será el percentil 80 de esa distribución? ¿Qué percentil
    corresponde a un sujeto cuya puntuación es 35?
    Para responder al primero de los interrogantes, comenzaremos por
    determinar cuál es el intervalo crítico, es decir, aquél en el que habrá
    de estar contenido el percentil P80. Puesto que este percentil deja por
    debajo de sí al 80% de las puntuaciones, calcularemos previamente de
    cuántas puntuaciones se trata:
    que en este caso resultan ser 163.2. Lógicamente, puesto que las
    puntuaciones son indivisibles, para dejar 163.2 puntuaciones por
    debajo tendremos que tomar 164 puntuaciones. El percentil P80 habrá
    de estar contenido en el intervalo 30 ­ 33, donde la frecuencia
    acumulada supera las 164 puntuaciones. Este será el intervalo crítico.
    Teniendo en cuenta que el límite inferior del intervalo crítico es 29.5, la
    amplitud de los intervalos es 4, la frecuencia en el intervalo crítico es
    21, y la frecuencia acumulada en el intervalo anterior es 144, podemos
    aplicar la fórmula de cálculo:­ 18 ­
    Es decir, la puntuación 33.16 deja por debajo de sí el 80% de las
    puntuaciones y por encima el 20% restante.
    Veamos ahora el segundo de los interrogantes. Se trataría de
    determinar el percentil que corresponde a la puntuación 35. Para ello,
    aplicaremos de nuevo la fórmula anterior, aunque esta vez el valor
    desconocido es m en lugar de Pm.
    El intervalo crítico será 34 ­ 37, pues de hecho es en este intervalo
    donde se encuentra el percentil con el que trabajamos (P m=35).
    Sustituyendo todos los valores conocidos, podremos obtener el valor de
    m:
    y despejando, tendremos m = 82.72. En consecuencia, podemos afirmar
    que la puntuación 35 corresponde a un percentil aproximado de 83. Es
    Calificaciones f1 fa
    2 – 5 4 4
    6 – 9 18 22
    10 – 13 14 36
    14 – 17 20 56
    18 – 21 20 76
    22 – 25 54 130
    26 – 29 14 144
    30 – 33 21 165
    34 – 87 10 175
    38 – 41 15 190
    42 – 45 10 200
    46 – 49 4 204
    Es decir, la puntuación 33.16 deja por debajo de sí el 80% de las
    puntuaciones y por encima el 20% restante.
    Veamos ahora el segundo de los interrogantes. Se trataría de
    determinar el percentil que corresponde a la puntuación 35. Para ello,
    aplicaremos de nuevo la fórmula anterior, aunque esta vez el valor
    desconocido es m en lugar de Pm.
    El intervalo crítico será 34 ­ 37, pues de hecho es en este intervalo
    donde se encuentra el percentil con el que trabajamos (P m=35).
    Sustituyendo todos los valores conocidos, podremos obtener el valor de
    m:
    y despejando, tendremos m = 82.72. En consecuencia, podemos afirmar
    que la puntuación 35 corresponde a un percentil aproximado de 83. Es
    decir, ese sujeto posee una calificación superior al 83 % de la clase y
    que se ve superada sólo por el 17% de los sujetos de la clase.

    CUARTILES
    Cuartiles
    • ¿Qué son los cuartiles?
    Los cuarteles son los 3 valores que dividen en cuatro partes a una serie
    de puntuaciones ordenadas, de manera que el cuartel Qm deja por
    debajo de sí m cuartas partes del total de puntuaciones del grupo.
    • ¿Cómo los calculamos?
    La siguiente expresión nos permitirá calcular dichos cuarteles:
    Ejemplo:
    Tomando de nuevo la distribución del ejemplo anterior vamos
    a calcular la calificaci6n obtenida por un alumno que se sitúa
    en el tercer cuartil.­ 21 ­
    En primer lugar, identificaremos el intervalo crítico. Para
    ello, calcularemos el número de puntuaciones que constituyen
    las tres cuartas partes de la distribución:
    La puntuación que deja por debajo a un total de 153 puntuaciones ha
    de hallarse necesariamente en el intervalo 30 ­ 33, pues en éste se
    llegan a acumular 165 puntuaciones, mientras que en el
    inmediatamente anterior sólo se acumulaban 144. El límite inferior real
    del intervalo crítico es 29.5, y la frecuencia en su interior asciende a
    21. Aplicando la fórmula para el cálculo:
    La puntuación 31.21 constituye el tercer cuartil para la distribución, es
    decir, tres cuartas partes de las puntuaciones, o lo que es igual el 75%,
    quedan por debajo de ella.

    Ejercicios de Cuatiles Resueltos..
    1.Calcular los cuartiles las series estadísticas:
    3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
    3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
    10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18

    1

    2

    3
    26/4 = 6.5 Q1 = 7
    Q2 = Me = 10
    (26 • 3)/4 = 19.5 Q3 = 14

    2.Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:
    [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
    fi 3 5 7 4 2
    Hallar los cuartiles 1º y 3º.

    xi fi Fi
    [10, 15) 12.5 3 3
    [15, 20) 17.5 5 8
    [20, 25) 22.5 7 15
    [25, 30) 27.5 4 19
    [30, 35) 32.5 2 21
    21

    3.Dada la distribución estadística:
    [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, ∞)
    fi 3 5 7 8 2 6
    Calcular los Cuartiles 2º y 3º:

    xi fi Fi
    [0, 5) 2.5 3 3
    [5, 10) 7.5 5 8
    [10, 15) 12.5 7 15
    [15, 20) 17.5 8 23
    [20, 25) 22.5 2 25
    [25, ∞) 6 31
    31

    4.El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

    ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?
    El valor a partir del cual se encuentra el 25% de los alumnos más pesados es el cuartil tercero.

    Ejercicios de cuartiles para resolver..

    II Problemas relacionados con gráfico de caja e interpretación de
    cuartiles
    Resuelva los siguientes problemas relacionados con gráfico de caja.
    8. Considere el siguiente gráfico de caja:
    Deuda morosa de 5.400 clientes de la empresa Aguas Andina residentes en la comuna de Conchalí (Miles de $)
    Se pide: construir 5 afirmaciones respecto del caso.
    9. La tabla de distribución de frecuencias adjunta indica el número de años de experiencia de una
    muestra de expertos en el área de Administración y Finanzas

    Con la información anterior construya un gráfico de cajas

    10. De acuerdo con los datos de un censo, las proporciones de adultos en USA, clasificados en cinco
    categorías de edad, son las siguientes:

    Edad (años) Proporción
    18 – 24 0,18
    25 – 34 0,23
    35 – 44 0,16
    45 – 64 0,27
    65 – 100 0,16
    Con estos datos trace un gráfico de caja

    DECILES:

    Deciles
    • ¿Qué son los deciles?
    Si dividimos una serie de puntuaciones en diez partes, cada una de las
    puntuaciones que limitan las partes se denomina decil (Dm). La escala
    de deciles va desde el D1 al D9. Definiremos un decil (Dm) como aquel
    valor numérico que deja por debajo de sí m décimas partes del total de
    puntuaciones.

    • ¿Cómo los calculamos?
    Para calcularlos seguimos la siguiente expresión:
    Donde:
    Li: es el límite inferior del intervalo crítico (que contiene a Dm)
    I: es la amplitud de los intervalos.
    fi: es la frecuencia absoluta del intervalo crítico.
    n: es el número de casos.
    fa: es la frecuencia acumulada en el intervalo anterior al intervalo
    crítico.
    Ejemplo:
    Tomando como referencia la distribución de la tabla usada en el
    ejemplo de los percentiles, determinar la puntuación que constituye el
    tercer decil.
    Comenzaremos determinando el intervalo crítico, es decir, aquél que
    contiene al decil tercero. Esta puntuación dejará por debajo de sí a 3­ 20 ­
    décimas partes de la distribución. Podremos saber de cuántas
    puntuaciones se trata mediante el siguiente cálculo:
    Este número de puntuaciones queda alcanzado en el intervalo 18­21,
    que será el intervalo crítico. Además, sabemos que dentro del intervalo
    crítico hay un total de 20 puntuaciones y que el intervalo
    inmediatamente inferior acumula 56 puntuaciones. De esta forma:
    Por tanto, la puntuación18.54 deja por debajo de sí 3 décimas de la
    distribución, o lo que es igual, un 30% de las puntuaciones
    .
    Cálculo de los deciles

    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..
    ai es la amplitud de la clase.
    Ejercicio de deciles Resueltos
    Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65

    Cálculo del primer decil

    Cálculo del segundo decil

    Cálculo del tercer decil

    Cálculo del cuarto decil

    Cálculo del quinto decil

    Cálculo del sexto decil

    Cálculo del séptimo decil

    Cálculo del octavo decil

    Cálculo del noveno decil

    MODA
    • ¿Qué es la moda?
    La moda es una medida de tendencia central que indica cuál es la
    puntuación, categoría o modalidad que más se repite en el conjunto de
    medidas.
    o Ventajas:
    La moda puede calcularse con cualquier tipo de datos.
    o Inconvenientes:
    La moda es la más instable de las medidas de tendencia central, ya
    que puede variar mucho de una a otra muestra extraída de una misma
    población.
    Podemos encontrarnos con que no existe una única moda, a lo que
    llamaríamos distribuciones bimodales o multimodales.
    o A tener en cuenta:
    ­ Si nos encontramos con que todas las puntuaciones de una
    distribución tienen la misma frecuencia consideraríamos que no
    existe moda. Ejemplo:
    Puntuaciones: 2, 2, 2, 5, 5, 5, 9, 9, 9
    Como vemos todos los valores presentan una frecuencia de 3, por lo
    que consideramos que no existe moda.
    ­ Cuando en las puntuaciones de una distribución vemos que dos de
    ellas tienen la misma frecuencia, y además es mayor que el resto de
    las frecuencias de las demás puntuaciones, consideramos que la
    moda es el promedio de estas dos puntuaciones adyacentes. Ejemplo:
    Puntuaciones: 1, 1, 4, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10
    En este caso la moda sería el promedio de los valores 6 y 7 ya que se
    repiten con la misma frecuencia
    Estaríamos ante una distribución bimodal en el caso de
    encontrarnos con dos puntuaciones que sin ser adyacentes tienen la
    misma frecuencia y además es mayor que la de otra puntuación
    cualquiera. Ejemplo:
    Puntuaciones: 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7
    Nos encontramos con que tanto el valor 3 como el valor 6, tienen
    una frecuencia de 4, por lo que ambos valores determinarán la
    moda.
    • ¿Cómo la calculamos?
    o Tenemos datos agrupados por intervalos:
    En este caso la moda es el punto medio del intervalo que registra la
    mayor frecuencia, a lo que llamamos intervalo modal. También
    disponemos de expresiones de cálculo que nos permiten calcular la
    moda.
    d1: es la diferencia entre las frecuencias del intervalo modal y el
    intervalo anterior.
    d2: es la diferencia entre las frecuencias del intervalo modal y el
    inmediato superior.
    Li: es el límite inferior del intervalo modal.
    I: es la amplitud del intervalo modal.
    Ejemplo:
    A partir de la siguiente distribución de frecuencias para datos
    agrupados por intervalos, calcular la moda.
    Intervalos fi
    16 – 21
    22 – 27
    28 – 33
    34 – 39
    40 – 45
    46 – 51
    52 – 57
    58 – 63
    64 ­ 69
    8
    12
    18
    17
    17
    12
    8
    9
    3
    Si adoptamos como moda el punto medio del intervalo de mayor
    frecuencia, la moda será el valor 30,5, ya que en este intervalo se
    alcanza la mayor de las frecuencias (18).
    Si empleamos la expresión para cálculo de la moda en
    distribuciones de frecuencias con datos agrupados por intervalos,
    obtenemos que la diferencia de la frecuencia del intervalo modal con
    la frecuencia del inmediatamente anterior es d1 = 18 – 6 = 6 y la
    diferencia con la frecuencia del intervalo posterior es d2 = 18 – 17
    = 1, a continuación podemos calcular la moda:
    o Tenemos datos sin agr upar :
    ­ En primer lugar se construye la distribución de frecuencias. La
    moda sería aquel valor con frecuencia máxima. Ejemplo:­ 14 ­
    Puntuaciones: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8
    El valor 4 tiene una frecuencia de 3, mayor que el resto de las
    frecuencias, por lo que sería la moda.
    ­ Si la frecuencia máxima se repite en dos o más valores,
    obtendríamos varias modas, y el grupo se denominaría bimodal o
    multimodal. Ejemplo:
    Puntuaciones: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8
    Como vemos, los valores 1, 5 y 6 tienen la frecuencia máxima de 2,
    por tanto estamos ante un grupo multimodal, cuyas modas son las
    puntuaciones 1, 5 y 7.
    ­ En el caso de que dos valores adyacentes alcanzaran la misma
    frecuencia, la moda sería el promedio de ambos. Ejemplo:
    Puntuaciones: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5
    La moda es la suma de los valores 3 y 4 dividida entre dos, ya que
    estos son adyacentes y la moda se considera el promedio de ambos.
    • propiedades de la moda:
    ­ Es la medida de tendencia central más inestable, pudiendo variar
    mucho de una muestra a otra extraídas de la misma población.
    ­ Para datos agrupados por intervalos, el valor de la moda
    dependerá de la amplitud de los intervalos, el número de ellos y los
    límites fijados.
    ­ Puede determinarse para variables medidas en cualquier escala.

    La moda es una medida que no suele interesar especialmente, a no ser que haya tal concentración de datos en la distribución que un valor destaque claramente sobre todos los demás. Puede servir también para cuando queramos estimar de una forma rápida, y no muy precisa, una medida de tendencia central. La moda, al igual que la mediana, es un valor que no se ve afectado por los valores extremos de la distribución y también es poco susceptible de efectuar con él operaciones algebraicas.

    MEDIANA
    • ¿Qué es la mediana?
    La mediana es una medida de tendencia central, es el valor que divide
    en dos partes iguales a un conjunto de puntuaciones ordenadas. Es la
    puntuación que deja por encima y por debajo de sí el 50% de los casos.­ 8 ­
    • ¿Cómo la calculamos?
    o Tenemos datos agrupados por intervalos :
    La fórmula es:
    Donde:
    Li: es el límite inferior del intervalo crítico (que contiene a la
    Mediana.
    I: es la amplitud de los intervalos.
    fi: es la frecuencia absoluta en el intervalo crítico.
    n: es el número de casos.
    fa: es la frecuencia acumulada en el intervalo anterior al intervalo crítico.
    o Tenemos datos sin agrupar :
    ­ Si el número de datos que nos presentan es impar, la mediada será
    el valor que queda justo en el centro. Ejemplo:
    7, 5, 3, 7, 5, 4, 4, 6, 4
    Los ordenamos de menor a mayor y buscamos el valor central:
    3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7
    ­ Si el número de datos que nos presentan es par, la mediana será la
    media aritmética de los valores centrales. Ejemplo:
    2, 5, 3, 4, 3, 5
    Los ordenamos, buscamos los valores centrales y hacemos la media
    aritmética de ambos:
    2, 3, 3, 4, 5, 5
    En este caso la mediana no corresponde con ningún valor del
    conjunto de datos.
    Ejemplo:
    A partir de la siguiente distribución de frecuencias para datos
    agrupados por intervalos (tabla siguiente), correspondiente al
    número de errores ortográficos cometidos en un ejercicio de dictado
    por los 104 alumnos de 3º de Educación Primaria de un centro,
    calcular la mediana de los errores.
    Errores fi fa
    16 – 21
    22 – 27
    28 – 33
    34 – 39
    40 – 45
    46 – 51
    52 – 57
    58 – 63
    64 – 69
    8
    12
    18
    17
    17
    12
    8
    9
    3
    8
    20
    38
    55
    72
    84
    92
    101
    104
    Para obtener la mediana de esta distribución, comenzaremos por
    determinar cuál es el intervalo crítico, es decir, aquél en el que
    habrá de estar contenida la mediana. Puesto que la mediana deja
    por debajo de sí al 50% de las puntuaciones, que en este caso
    resultan ser 52, habrá de estar contenida en el intervalo 34­39
    donde la frecuencia acumulada alcanza y supera esta cifra. Este
    será el intervalo crítico.­ 10 ­
    Teniendo en cuenta que el límite inferior crítico es 33.5 la amplitud
    de los intervalos es 6, la frecuencia en el intervalo crítico es 17, y la
    frecuencia acumulada en el intervalo anterior 38, podemos calcular
    la mediana aplicando la fórmula que se basa en el límite inferior del
    intervalo crítico:

    A idéntico resultado habríamos llegad utilizando la fórmula que se
    basa en el límite superior del intervalo crítico. Teniendo en cuenta
    que la frecuencia acumulada en los intervalos superiores al
    intervalo crítico asciende a 49, el valor de la mediana será:
    Es decir, el 50% de los alumnos comenten 38 o menos errores
    ortográficos, y en el dictado del 50% restante aparecen 39 o más
    errores.
    • Propiedades.
    ­ Es menos sensible que la media a variaciones de las puntuaciones.
    Puede que al modificar un valor la mediana no se altere.
    ­ Para datos agrupados por intervalos, el valor de la mediana
    dependerá de la amplitud de los intervalos, el número de ellos y los
    límites fijados.
    ­ La mediana puede calcularse cuando se han medido las variables en
    escala ordinal o superior.
    La mediana es preferida cuando la distribución de los datos es asimétrica, y cuando los valores extremos están tan alejados que distorsionarían el significado de la media. También se calcula la mediana en aquellas distribuciones en las que existen valores sin determinar, por ejemplo, aquellas cuya primera clase es del tipo “menos que x”, y la última clase: “más de y”. En definitiva, lo más importante de esta medida es que no se ve afectada por los valores extremos.

    MEDIA ARITMÉTICA

    Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada.

    Media aritmética simple: Es la suma de todos los elementos de la serie dividida por el número de ellos. Se calcula como:

    siendo:
    : la media
    : suma de elementos
    n : número de elementos (incluyendo a los de igual valor)
    k : número de elementos con distinto valor.

    Ejemplos:
    1. Hallar la media aritmética de los siguientes valores: 5, 7, 8, 10, 15.
    1. Un alumno obtiene en tres exámenes parciales las siguientes notas: 7, 5 y 3; en el examen final consigue un 6. Suponiendo que esta nota final tenga doble valor que las parciales, ¿cuál será su nota media? (Resp. 5,4)
    2. Si la renta anual media de los trabajadores del campo es de 1.000.000 de pesos y la renta anual media de los trabajadores de la construcción en esa población es de 1.200.000 pesos, ¿sería la renta anual media para ambos grupos de 1.100.100 pesos? Explica.

    Sin embargo, lo normal es Estadística es que los datos vengan agrupados en clases o intervalos, o que nosotros mismos hagamos esa agrupación cuando el número de elementos sea muy extenso, ya que en ese caso el cálculo de la media por los procedimientos vistos para datos sin agrupar sería muy laborioso.

    Antes de estudiar los métodos más usuales para el cálculo de la media con datos agrupados, vamos a ver algunas propiedades de la media aritmética que nos ayudarán a comprender mejor el contenido de esos métodos.

    Propiedades de la media aritmética: Las propiedades más importantes son

    1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números respecto de su media aritmética es cero.
    2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números con respecto a cualquier otro número es mínima cuando ese otro número es precisamente la media aritmética.
    3. Si suponemos, antes de calcularla, que la media de un conjunto de números es cualquier número A, resulta que la verdadera media aritmética es:

    donde

    A: media supuesta
    : suma de las desviaciones respecto de A.
    n : número de elementos.

    4. Si A1 números tienen una media m1, A2 números una media m2, …., An números una media mn, entonces la media de todos ellos es:
    5. llamamos A al valor de la media supuesta, que coincidirá con el centro del intervalo elegido.
    6. Entonces aplicamos la fórmula
    7.
    8.
    9.
    10. Siendo d las desviaciones de las marcas de clase con respecto a la media supuesta A, y ni la frecuencia de cada intervalo.
    11.
    12. Ejemplo: Realizar el mismo anterior para poder comparar mejor los procedimientos.
    13.
    14. Este método abreviado es más rápido que el método directo, pues las operaciones que hay que realizar son más sencillas.
    15.
    16. Método clave
    17.
    18. Se diferencia fundamentalmente del método abreviado en que en lugar de calcular las desviaciones d de cada marca de clase a la media supuesta, simplemente se escriben al lado de cada marca unos números enteros “d”, que expresan el número de clases, más uno, que hay desde la marca considerada a la marca que coincide con la media supuesta. A estos números se les asigna signo menos si están por debajo de la media considerada y signo más si están por encima.
    19. La fórmula que se utiliza es la siguiente:
    20.
    21.
    22.
    23. donde I es un número igual a la amplitud o longitud de las clases o intervalos.
    24. Como ejemplo considerar el mismo de los dos casos anteriores.

    La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total dedatos.
    es el símbolo de la media aritmética.

    Ejemplo
    Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

    Media aritmética para datos agrupados
    Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

    Ejercicio de media aritmética
    En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
    xi fi xi • fi
    [10, 20) 15 1 15
    [20, 30) 25 8 200
    [30,40) 35 10 350
    [40, 50) 45 9 405
    [50, 60 55 8 440
    [60,70) 65 4 260
    [70, 80) 75 2 150
    42 1 820

    Propiedades de la media aritmética
    1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.

    La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
    8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
    = 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
    2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un númerocualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

    3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.
    4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética quedamultiplicada por dicho número.

    Observaciones sobre la media aritmética
    1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
    2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
    3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
    65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
    La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
    4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
    xi fi
    [60, 63) 61.5 5
    [63, 66) 64.5 18
    [66, 69) 67.5 42
    [69, 72) 70.5 27
    [72, ∞ ) 8
    100

    En general, la media aritmética es la medida más utilizada ya que se puede calcular con exactitud y se basa en el total de las observaciones. Se emplea preferentemente en distribuciones simétricas y es el valor que presenta menores fluctuaciones al hacer variar la composición de la muestra. Finalmente, la media aritmética es especialmente útil cuando se precisa después calcular otros valores estadísticos, como desviaciones, coeficientes de correlación, etc.

    PERCENTILES
    Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
    Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos.
    P50 coincide con la mediana.
    Cálculo de los percentiles
    En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

    Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.
    N es la suma de las frecuencias absolutas.
    Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.
    ai es la amplitud de la clase.

    Ejercicio de percentiles
    Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
    fi Fi
    [50, 60) 8 8
    [60, 70) 10 18
    [70, 80) 16 34
    [80, 90) 14 48
    [90, 100) 10 58
    [100, 110) 5 63
    [110, 120) 2 65
    65
    Percentil 35

    Percentil 60

    DESVIACION MEDIA
    Desviación respecto a la media
    La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.
    Di = |x – x|
    Desviación media
    La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
    La desviación media se representa por

    Ejemplo
    Calcular la desviación media de la distribución:
    9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

    Desviación media para datos agrupados
    Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

    Ejemplo
    Calcular la desviación media de la distribución:
    xi fi xi • fi |x – x| |x – x| • fi
    [10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
    [15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
    [20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
    [25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856
    [30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428
    21 457.5 98.57

    VARIANZA
    La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
    La varianza se representa por .

    Varianza para datos agrupados

    Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

    Varianza para datos agrupados

    Ejercicios de varianza
    Calcular la varianza de la distribución:
    9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

    Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
    xi fi xi • fi xi2 • fi
    [10, 20) 15 1 15 225
    [20, 30) 25 8 200 5000
    [30,40) 35 10 350 12 250
    [40, 50) 45 9 405 18 225
    [50, 60 55 8 440 24 200
    [60,70) 65 4 260 16 900
    [70, 80) 75 2 150 11 250
    42 1 820 88 050

    Propiedades de la varianza
    1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
    2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
    3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por elcuadrado de dicho número.
    4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.
    Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

    Si las muestras tienen distinto tamaño:

    Observaciones sobre la varianza
    1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
    2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.
    3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.
    PRÁCTICA
    Nombre ______________________________________________Grupo ______
    PROBLEMA 1.- La variación de los valores incluidos en una serie de datos es
    la llamada dispersión. Los tipos más comunes de dispersión son:
    ________________________________________________________________
    ________________________________________________________________
    La medida de dispersión que se utiliza para mostrar la variación de los valores
    entre el 50% de los elementos centrales se denomina:
    _________________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    y las que se usan para medir la variación de los valores alrededor de un
    promedio se denominan:
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    ________________________ y ____________________________________
    LA ESTADÍSTICA APLICADA AL ANÁLISIS ECONÓMICO
    64 PROFESOR: GENARO SÁNCHEZ BARAJAS
    _________________________________________________________________
    _______________________________________________________________
    Al describir una distribución estadística, comúnmente se emplea una
    medida de tendencia central para
    _________________________________________________________________
    _________________________________________________________________
    _________ y una medida de dispersión para ______
    ____________________________________________________
    http://www.economia.unam.mx/profesor/barajas/estadis/parte2.pdf

    Videos:

    http://www.youtube.com/watch?v=W5bUezdAZwI&feature=player_embedded

    CONCLUSION
    Las medidas de posición en un conjunto de datos están diseñadas para proporcionar al analista algunas medidas cuantitativas de donde está el centro de los datos en una muestra.
    En las medidas de posición se trata de encontrar medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posibles.

    Videos:

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